牛頓定理

此條目介紹的是幾何中的牛頓定理。關於類似名稱的物理學定律，請見「牛頓運動定律」。

在歐幾里得幾何中，牛頓定理指出除了菱形在任何圓外切四邊形中內切圓的圓心在在牛頓線上。

點p位於牛頓線EF上。

假設四邊形ABCD是圓外切四邊形，且最多有一對平行的邊，然後假設點E和點F是對角線AC、DB的中點，點P是內切圓的中心，這樣的話P點就位於牛頓線上，即線段EF的中點。如果圓外切四邊形是菱形，在這種情況下對角線的中點和內切圓的圓心重合，不存在牛頓線。

牛頓定理可以簡單地從安妮定理出發：圓外切四邊形對邊的長度之和相等（皮托定理：a + c = b + d），根據安妮定理表明： $S\triangle ABP+S\triangle CDP=S\triangle ADP+S\triangle BCP$，足以證明點P在線段EF上。

${\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\=&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\=&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\=&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}$

參考資料

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 117–118 (online copy，第117頁，載於Google圖書)

外部連結

• Newton’s and Léon Anne’s Theorems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot.org