狄利克雷原理

數學中的位勢論里,狄利克雷原理是關於在 中的某個區域 上的泊松方程

滿足邊界條件

的解 u(x) 的刻畫。原理說明,u(x) 是使得狄利克雷勢能

最小的幾乎處處二次可導,並且在邊界 上滿足 的函數 (如果至少存在一個函數使得以上的積分成立的話)。這個原理得名於德國數學家勒熱納·狄利克雷

由於以上的狄利克雷積分是下有界的,因此必然存在一個下確界黎曼和其他的數學家都認為下確界一定能夠達到,直到魏爾斯特拉斯舉出了一個無法達到下確界的泛函的例子。後來希爾伯特嚴格證明了黎曼對狄利克雷原理的使用之正當性。

證明

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以下給出   時的證明[1]。假設 u 是使得

 

最小的並且幾乎處處二次可導,並且在邊界 上滿足 的函數 ,那麼對於任意一個滿足邊界條件的函數  ,任意正實數 都有:

 

 

上式左側是一個關於 的二次多項式,並且在   的時候取到最小值,所以有:

 


另一方面,由於函數   滿足邊界條件,即在   上滿足  ,因此有:

 


這個結果對所有滿足邊界條件的函數   都成立,因此根據變分法基本引理,可以得到 

參見

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參考來源

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  1. ^ Mark.A.Prinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications. Waveland Pr Inc. 2003. ISBN 978-1577662754.