硬幣悖論

硬幣悖論（英語：coin rotation paradox）是一種反直覺的現象，即當一枚硬幣繞著另一枚相同大小的硬幣的邊緣滾動時，移動的硬幣在繞著靜止的硬幣一圈後完成兩個完整的轉動。^[1]

描述

從桌子上兩個相同的硬幣開始，它們正面朝上並平行。保持硬幣A靜止，沿硬幣A旋轉硬幣B，保持接觸點不打滑。當硬幣B到達對面時，兩個正面將再次平行；硬幣B進行了一次旋轉。繼續移動硬幣B使其回到起始位置並完成第二次旋轉。矛盾的是，硬幣B滾動的距離等於其周長的兩倍。

當硬幣B旋轉時，其周邊上的每個點都形成（穿過）心臟線。

從頭到尾，移動硬幣的中心沿圓形路逕行進。靜止硬幣的邊緣和所述路徑形成兩個同心圓。路徑的半徑是硬幣半徑的兩倍；因此，路徑的周長是硬幣周長的兩倍。^[2]移動硬幣的中心繞硬幣周長兩倍而不會滑動；因此，移動的硬幣完成了兩次完整的旋轉。移動的硬幣在途中圍繞自己的中心旋轉的次數或方向對路徑的長度沒有影響。

當R=3r的例子。在圖1中，R被拉直後，旋轉次數（箭頭指向上方的次數）為R/r=3。在圖2中，由於R被還原成一個圓，硬幣多轉了一圈，得到R/r+1=4。

一枚小硬幣繞著一枚大硬幣旋轉

一個半徑為r的硬幣繞著一個半徑R的圓滾動，旋轉R/r+1圈。^[3]那是因為滾動硬幣的中心沿半徑（或周長為(R+r)/r=R/r+1倍其自身半徑（或周長）的圓形路逕行進。在R=0的極限情況下，半徑為r的硬幣圍繞其底部點進行0/r+1=1次簡單旋轉。

1982年5月1日的SAT考題就是關於這個問題的，由於人為失誤，三名學生證明選項中沒有正確答案後，不得不重新評分。^[4]

硬幣滾動的形狀不一定是圓形：當它是任何不相交的簡單多邊形或閉合曲線時，它們的周長比會增加一個額外的旋轉。如果形狀複雜，則增加（如果硬幣在曲線內滾動則減少）的旋轉次數是其旋轉次數的絕對值。

^ Weisstein, Eric W. (編). Coin Paradox. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Bunch, Bryan H. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand Reinhold. 1982: 10–11. ISBN 0-442-24905-5.
^ Talwalkar, Presh. Everyone Got This SAT Math Question Wrong. MindYourDecisions. 5 Jul 2015 [2022-03-18]. （原始內容存檔於2022-03-17） –透過YouTube.
^ Error found in S.A.T. question. The New York Times. United Press International. May 25, 1982 [2021-02-09]. ISSN 0362-4331. （原始內容存檔於2022-03-24）（美國英語）.

這個被贊成的答案包括關於原始問題的動畫和直觀解釋，其中「外硬幣」的r是內硬幣半徑的1/3。