磁純量勢

提示：此條目頁的主題不是磁向量勢。

磁純量勢（英語：Magnetic scalar potential）是描述磁場性質的一個有用的輔助量，尤其是在永磁體中。

在一個單連通、沒有自由電流的區域，有

$\nabla \times \mathbf {H} =0,$

這樣，我們可以定義磁純量勢$\psi$為

$\mathbf {H} =-\nabla \psi .$

又因為

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot (\mathbf {H+M} )=0,$

並且

$\nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .$

這裡，$\nabla \cdot \mathbf {M}$充當了磁場的「源」，看起來就像是$\nabla \cdot \mathbf {P}$在電場中的角色。因此，類比束縛電荷，我們可以將

$\rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M}$

稱為「束縛磁荷」（雖然到目前為止尚未發現有單獨的磁荷存在）。

如有區域存在自由電流，則可以從總的磁場中減去自由電流的貢獻，利用磁純量勢方法求得剩餘量。

利用磁純量勢求解磁場

在靜磁學裏，描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁純量勢。由於磁純量勢是一個純量，不是向量，大多數時候，使用磁純量勢可以使得運算更加簡便。但是，它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$ 、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ；

其中，$\mathbf {H}$ 是磁場強度（H場）。

假設電流密度 $\mathbf {J}$ 等於零，則 $\nabla \times \mathbf {H} =0$ ，H場是個保守場，必定存在一個函數 $\psi _{m}$ 滿足

$\mathbf {H} =-\nabla \psi _{m}$ 。

稱這函數為磁純量勢。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏，則可將上述定義式代入高斯磁定律，稍加編排，表示為拉普拉斯方程式的形式：

$\nabla ^{2}\psi _{m}=0$。

對於任意連續場 $\psi _{m}$ ，其梯度的旋度為零。這意味著磁純量勢場不能存在有任何源電流。但是，實際而言，假若容許不連續線的存在於磁純量勢場（不連續點可以擁有兩種不同的數值），應用複分析，就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為割線（line of cut）。當用磁純量勢來解析靜磁學問題時，源電流必須置放於割線。

鐵磁性物質的磁純量勢

在鐵磁性物質或永久磁鐵裏，B場 $\mathbf {B}$ 、磁化強度 $\mathbf {M}$ 與H場 $\mathbf {H}$ 之間的關係比較複雜：

$\mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M}$ 。

應用高斯磁定律，

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot ({\mathbf {H} +\mathbf {M} })=0$ 。

立可得到

$\nabla ^{2}\psi _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M}$。

$\nabla \cdot \mathbf {M}$ 可以視為磁場的源電流，就好似 $\rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ 是靜電學的束縛電荷一樣。這樣，類比束縛電荷，可以稱呼 $\rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M}$ 為「束縛磁荷」。這樣，束縛磁荷的帕松方程式為

$\nabla ^{2}\psi _{m}=-\rho _{m}$。

這帕松方程式的解答為

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{m}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$ 。

參考文獻

• Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990. 
• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew. The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. 1964. ISBN 020102117XP. 
• Jackson, John David. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons. 1998. 
• Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X 
• Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235 
• Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4. 

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