穩定映射

辛拓撲與代數幾何中，可以構造滿足特定條件的穩定映射的模空間，從黎曼曲面映射到給定辛流形。此模空間是格羅莫夫-威滕不變量的精髓，在枚舉幾何與IIA型弦論中有應用。馬克西姆·孔采維奇在1992年左右提出了穩定映射的概念，並發表在Kontsevich (1995)。

由於構造過程冗長而困難，我們不在格羅莫夫-威滕不變量條目進行，而在這裡進行。

光滑偽全純曲線

固定一閉辛流形X，辛形式為$\omega$。令g、n是自然數（含0），A是X中的2維同調類。則，可以考慮偽全純曲線集合

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

其中$(C,j)$是虧格為g的光滑閉黎曼曲面，有n個標記點$x_{1},\ldots ,x_{n}$，且

$f:C\to X\,$

是函數，對$\omega$-馴順殆復結構J和非齊次項$\nu$的某種選擇滿足擾動柯西–黎曼方程

${\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .$

一般來說，只接受使C的無心歐拉示性數$2-2g-n$為負的g、n，則域是穩定的，就是說只有有限多個C的全純自同構保標記點。

${\bar {\partial }}_{j,J}$是橢圓算子，因此是弗雷德霍姆算子。經過大量分析論證（在合適的索博列夫範數中完成，使用隱函數定理與巴拿赫流形的薩德定理，並利用橢圓正則性恢復光滑性），可以證明對$\omega$-馴順的J和擾動$\nu$的一般選擇，虧格為g、有n個標記點、表示A類的$(j,J,\nu )$-全純曲線集形成光滑有向軌形

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)$

維度由阿蒂亞-辛格指標定理給出：

$d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.$

動機

模空間$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)$不是緊的，因為曲線序列可以退化為奇異曲線，而後者不在上面定義的模空間中。f的能量（指導數的$L^{2}$範數）集中在域的某一點時，就會這樣。

可通過重縮放集中點周圍的映射來捕捉能量。這樣做的效果是在集中點處的原域周圍附加一個球，稱作泡，並將映射延伸到整個球。重縮放後的映射可能仍有能量集中在點上，因此必須迭代地重縮放，最終將整個泡樹附著在原域上，使映射在新域的每個光滑分量上都表現良好。

定義

穩定映射定義為來自黎曼曲面的偽全純映射，最差有有節（nodal）奇點，使得映射只有有限多自同構。

具體來說，這意味著：對於有節黎曼曲面的光滑成分，若有不超過有限多個保標記點與節點的自同構，則稱這組分穩定。那麼穩定映射是偽全純映射，至少有一個穩定域成分，使得對其他域成分，

• 映射在此分量上非恆定，或
• 成分是穩定的。

重要的是，穩定映射的定義域不一定是穩定曲線。可以（迭代地）收縮其不穩定成分，這樣產生穩定曲線的過程，叫做域C的穩定化$\mathrm {st} (C)$。

穩定映射緊化

虧格為g、有n個標記點的黎曼曲面出發的穩定映射集形成了模空間

${\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).$

若且唯若滿足以下條件，穩定映射序列收斂，這樣便定義了拓撲。

• 其（穩定化）域收斂於曲線的德利涅-芒福德模空間${\overline {M}}_{g,n}$；
• 它們在遠離節點的緊子集上的所有導數均勻收斂；
• 集中在任一點的能量等於極限映射中附著於該點的泡樹的能量。

穩定映射的模空間是緊的，即，任何穩定映射序列都收斂。為證明之，可以迭代地重縮放映射序列。每次迭代都會出現新的極限域，可能是奇異的，其能量集中程度較上一代變低。在這一步，辛形式$\omega$以一種關鍵的方式進入。任何表示同調類B的光滑映射的能量下界都是辛面積

$\omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},$

若且唯若映射是偽全純映射時取等。這就限制了每次重縮放捕獲的能量，意味著只要有限次重縮放就能捕獲所有能量。最後，新極限域上的極限映射是穩定的。

緊化空間還是光滑有向軌形。具有非平凡自同構的映射對應軌形上具有各向同性（isotropy）的點。

格羅莫夫–威滕偽循環

為構造格羅莫夫–威滕不變量，將穩定映射的模空間在估值映射下前推

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},$

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))$

從而在適當條件下得到有理同調類

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},\mathbb {Q} ).$

由於模空間是軌形，所以有理係數是必須的。估值映射定義的同調類獨立於一般的$\omega$-馴順J與擾動$\nu$的選擇。對給定的數據g、n、A，它被稱作X的格羅莫夫–威滕（GW）不變量。配邊論證可用於證明在同痕意義上，此同調類與$\omega$的選擇無關。於是，格羅莫夫-威滕不變量是辛流形的辛同痕類的不變量。

「合適條件」很微妙，主要是因為多重覆蓋映射（通過域的分支覆疊分解的映射）可以形成比預期維度更大的模空間。

處理這問題的最簡單方法是假設目標流形X在一定意義上是半正定的或法諾的。選擇這假設的目的是為使多重覆蓋映射的模空間在非多重覆蓋映射空間中的余維度至少為2，那麼估值映射的像就形成了偽循環（pseudocycle），從而誘導出預期維度的良定義同調類。

要定義GW不變量而不嘉定某種半正定性，需要一種困難的技術構造，即虛擬模循環。

參考文獻

• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• Kontsevich, Maxim. Enumeration of rational curves via torus actions. Progr. Math. 1995, 129: 335–368. MR 1363062.