米斯拉-格里斯邊著色算法

米斯拉-格里斯邊著色算法是圖論算法的一種，能夠在多項式時間內找到任意圖的一種邊著色方案。這種著色算法最多使用$\Delta +1$種顏色，$\Delta$是該圖節點的最大度數。這對於一些圖而言是最優的，根據Vizing定理，最壞情況下，這種算法給出的結果比最優值多使用一種顏色。

該算法由Jayadev Misra和戴維·格里斯在1992年首次提出，是對Béla Bollobás提出的一種算法的簡化。

對於邊著色問題，該算法是已知最快的「幾乎最優」算法。時間複雜度為$O(|E||V|)$。更小的時間複雜度$O(|E|{\sqrt {|V|\log |V|}})$在1985年Gabow等的一篇科技報告中提出，但從未被發表。

總體上來說，最優邊著色問題是NP完全的，所以很可能並不存在多項式時間內的算法。同時也有指數級的算法給出了該問題的最優解。

扇

頂點v的一個扇 F=[x_1,x_2,x_3]（虛線邊代表未著色），(v,x_1),(v,x_2),(v,x_3)是扇的邊. F'=[x_1,x_2] 也是v的一個扇, 但不是最大的

對於一種顏色x，如果c(u,z) ≠ x 對於所有的 (u,z) $\in$ E(G) : z≠v均成立，則稱這種顏色x對於邊(u, v)未被使用。

頂點u的一個扇(Fan)是一個頂點序列，記為F[1:k]，該序列滿足以下條件：

1. F[1:k]是一個包含u的部分或全部鄰居節點的非空序列
2. (F[1],u) $\in$ E(G) 未被著色
3. F[i+1] 與u 的連邊的顏色對於 F[i] 未被使用，1 ≤ i < k

cd_x路徑的一個例子：ac,cg,gd 是一個「紅-綠_c」路徑，bd,dg是一個「紅-橙_d」路徑

給定一個扇F，任意邊(F[i], X)，1 ≤ i ≤ k 是扇的一條邊(Fan edge)。令 c 和 d 是兩種顏色，一個 cd_X 路徑是一個經過節點X的，由只包含顏色 c 和 d 的邊組成的路徑，而且是最大的（即，不能添加任何邊到這個路徑中，否則就會包含顏色不為 c 或 d 的邊）。注意到對於任意節點 X ，只會存在一條這樣的邊，因為每種顏色最多只有一條邊與給定的節點鄰接。

扇的旋轉

翻轉扇 F = [x₁, x₂, x₃]，左邊為翻轉前，右邊為翻轉後

給定對於節點X的一個扇 F[1:k] ，旋轉操作進行以下操作：

1. c(F[i],X) = c(F[i+1],X)
2. 除去 F[k] 到 u 的邊的顏色

這種旋轉進行後著色仍然有效，因為對於任意 i ，c(F[i + 1], X)對(F[i], X)未被使用。

路徑的翻轉

翻轉「紅-綠_a」路徑，左邊為翻轉前，右邊為翻轉後

操作「翻轉 cd_X 路徑」將該路徑上的每個顏色為 c 的邊改變為 d ，每個顏色為 d 的邊改變顏色為 c 。如果X處於路徑的末端，則翻轉操作能夠釋放節點X上的一種顏色：如果 X 與 c 而非 d 相鄰，現在會變成與 d 而非 c 相鄰，把顏色 c 釋放出來，可以給其他與 X 鄰接的邊。這一翻轉操作不會改變著色的有效性，因為對於路徑末端的節點，只會有 c 或 d 中的一種顏色，而對於邊上的其他節點，翻轉操作只是交換了邊的顏色，並未增加新顏色。

算法

輸入: 圖 G.

輸出: 對於圖 G 的邊的一個合適染色方案

令 U := E(G)

while U ≠ ∅ do

1. 令 (u,v) 是 U 的任意一條邊。
2. 令 F[1:k] 是 u 的一個最大扇，且 F[1]=v.
3. 令 c 是對於 u 未被使用的一種顏色，d 是對於 F[k] 未被使用的一種顏色.
4. 翻轉 cd_u 路徑
5. 令 w ∈ V(G) 使得 w ∈ F, F'=[F[1]...w] 是一個扇，且顏色 d 對於 w 未被使用。
6. 旋轉扇 F' 並設置 c(u,w)=d.
7. U := U - {(u,v)}

end while