素數的倒數之和

公元前3世紀，歐幾里得證明了素數有無窮多個。公元十八世紀，歐拉證明了所有素數的倒數之和發散。這裡給出一些證明。

證明一

$\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln(1-p^{-1})$

$=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right)$

$<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)$

$=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C$

因為當n逐漸增大時，前n個整數的倒數之和趨近於ln(n)，所以

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln(+\infty ).$

證明二

此證明由保羅·埃爾德什給出。用反證法。

假設所有素數的倒數之和收斂：

定義$p_{i}$為第i個素數，可得到

$\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{k}}=c.$

存在一個正整數i使得

$\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{i+k}}<{1 \over 2}.$

定義N(x)為不超過x且不能被任何大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數。 設$n=km^{2}$，k不再含平方因子（任何整數都可以這樣）。 由於只有i個素數能整除k，k最多只有$2^{i}$種選擇。 又因為m最多只能取${\sqrt {x}}$個值，可得到：

$N(x)\leq 2^{i}{\sqrt {x}}\,$

不超過x且能被某些大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數為x − N(x)。

因為不超過x且能被p整除的整數最多有x/p個，可得到

$x-N(x)<\sum _{k=1}^{\infty }{x \over p_{i+k}}<{x \over 2},$

或

${x \over 2}<N(x)\leq 2^{i}{\sqrt {x}}.\,$

但這是不可能的。

證畢。

參見

• 素數
• 布朗常數
• 歐拉乘積

外部連結

• Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?", http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）