莫爾斯勢

以物理學家Philip M. Morse的名字命名的Morse勢是一種對於雙原子分子間位能的簡易解析模型。 一方面，對Morse勢求解薛丁格方程式具有解析解，方便分析問題；另一方面，由於它隱含地包括了鍵斷裂這種現象，對於分子振動的微細結構的具有良好的近似。Morse勢包含有諧振子模型所缺乏的特性，那就是非成鍵態。相對量子諧振子模型，Morse勢更加真實，因為它能夠描述非諧效應，倍頻，以及組合頻率。倍頻發生在n +/- 2或更大的躍遷的時候，而組合頻率則來源於添加或除去兩個或更多個模型。

Morse勢 (藍線)以及諧振子勢(綠線). 與諧振子的情況不同，Morse勢的能階間距並非均勻地以ħω為間隔，而是在能量趨於離解能的時候隨之減小。由於最低振動能階(v = 0)的零點能的存在，離解能（dissociation energy）D_e要大於發生離解的真實的需要的能量D₀。

Morse勢具有如下的形式

$V(r)=-D_{e}+D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}$.

這裡，$r$是核間距（兩原子間距離，或鍵長）；$r_{e}$是平衡鍵長（$dV(r)/dr|_{r=r_{e}}=0$）；$D_{e}$是Morse勢的阱深（位能零點可任意選取，在此將解離極限設為位能零點，即，兩核間距趨於無窮遠時令體系位能為零，$V(\infty )=0$）；$a$則控制了勢井的「寬度」，$a$越小，勢井越寬。井深$D_{e}$減去零點能$E(0)$就得到了解離能，在此$E(0)$為零，解離能為$D_{e}$。

對Morse勢在$r_{e}$附近作Taylor展開，

$V(r)\approx {\frac {1}{2}}k_{e}(r-r_{e})^{2},$

其中，二階項中的$k_{e}$為平衡位置處的力常數。由此式可推導$a$，$D_{e}$和$k_{e}$具有如下關係：

$a={\sqrt {k_{e}/2D_{e}}}$

振動能（Vibrational Energy）

$n$是振動量子數

$E(n)=(n+1/2)h\nu _{0}-(n+1/2)^{2}*(h\nu _{0})^{2}/4D_{e}$.

$E(n+1)-E(n)=h\nu _{0}-(n+1)*(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}$.

對於量子諧振子，相鄰能階間距是常數，即$h\nu _{0}$。而對於Morse勢，相鄰能階間距則隨著$n$的增加而減小，這更符合自然情況。當$E(n+1)-E(n)$為0或者負值的時候，就無法得到合適的$n$值。在這個極限之下，Morse勢是對于振動微細結構的一個良好近似。

Morse勢的量子化

與量子諧振子情況類似，Morse勢的本徵能階和本徵態可以通過使用算符方法得到。其中的一種方法涉及到對哈密頓的一般因式分解，其中所採用的一種特殊的參數化導致了Morse勢的振盪函數。

參考文獻

• P. M. Morse, Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels. Phys. Rev. 1929, 34, 57.
• I.G. Kaplan, in Handbook of Molecular Physicas and Quantum Chemistry, Wiley, 2003, p207.