誤差傳播

很多情況下，被測量Z 不能直接測得，而是由N 個其他量$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$通過函數關係來確定，在統計學上，由於變量含有誤差，而使由函數計算出的被測量Z 受其影響也含有誤差，稱之為誤差傳播。闡述這種關係的定律稱為誤差傳播定律。

誤差傳播定律

設有一般函數（線性函數和非線性函數）

Z=$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

式中$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 為可直接觀測的相互獨立的未知量，z為不便於直接觀測的未知量。已知$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 的標準差分別為$m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}$ ,現在要求z的標準差$m_{z}$ 。已知函數z的中誤差關係式為$m_{z}^{2}$ =$k_{1}^{2}m_{1}^{2}+k_{2}^{2}m_{2}^{2}+\dots +k_{n}^{2}m_{n}^{2}$（其中$k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}$為任意常數）。由數學分析可知，變量的誤差與函數的誤差之間的關係，可以近似的用函數的全微分來表達，為此對上式求全微分，並以真誤差的符號「Δ」替代微分的符號「d」得 $\Delta z={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\cdot \Delta x_{n}$

式中${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ （i=1，2，，…，n）是函數對各個變量變量所取得偏導數，對上式以標準差平方代替真誤差,由函數z的中誤差關係式可得

$m_{z}^{2}$ =$\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)^{2}m_{1}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)^{2}m_{2}^{2}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{2}m_{n}^{2}$

將上式取平方根可得誤差傳播定律的一般形式

$m_{z}$=±${\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)^{2}m_{1}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)^{2}m_{2}^{2}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{2}m_{n}^{2}}}$

參見

• 測量精度
• 自動微分
• Delta方法
• 精度衰減因子
• 誤差
• 實驗不確定度分析
• 測量不確定度
• 數值穩定性
• 概率界限分析
• 有效位運算
• 不確定性量化
• 隨機模糊變量

外部連結

• Uncertainties and Error Propagation, Appendix V from the Mechanics Lab Manual, Case Western Reserve University.
• Mathieu Rouaud, 2013: Probability, Statistics and Estimation（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement.
• A detailed discussion of measurements and the propagation of uncertainty（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） explaining the benefits of using error propagation formulas and monte carlo simulations instead of simple significance arithmetic.
• Uncertainties and Error Propagation, Vern Lindberg's Guide to Uncertainties and Error Propagation.