輪圖
在圖論這一數學分支中，輪圖（wheel graph）是指一個完全點連接到一個循環圖上所有節點而形成的圖。一些文獻中[1]會使用記號Wn來表示有n個節點（n ≥ 4）的輪圖；另一些文獻中[2]則使用Wn來表示有n+1個節點（n ≥ 3）的輪圖，這裡n是指形成輪圖的循環圖中節點的數量。在本條目中使用前一種記號。
| 輪圖 | |
|---|---|
 輪圖的一些例子 | |
| 頂點 | n |
| 邊 | 2(n − 1) |
| 直徑 | 2，如果n > 4 1，如果n = 4 |
| 圍長 | 3 |
| 色數 | 4，如果n是偶數 3，如果n是奇數 |
| 屬性 | 哈密頓圖 自對偶 平面圖 |
構造
編輯給定一個點集{1, 2, 3, …, v}，則若使用集合建構式符號，輪圖的邊集可以表示為{{1, 2}, {1, 3}, …, {1, v}, {2, 3}, {3, 4}, …, {v − 1, v}, {v, 2}}。[3]
性質
編輯輪圖是平面圖，因此有唯一的平面嵌入。更進一步，每個輪圖都是哈林圖。輪圖是自對偶的：輪圖的平面對偶和其自身同構。除了K4 = W4之外，每個極大平面圖都有一個形如W5或W6的子圖。
任意輪圖中總有哈密頓環。Wn中有 個環（OEIS數列A002061）。
當n為奇數時，Wn是一個完美圖，其色數為3：環上的節點可以用兩種顏色染色，而中間的完全點使用第三種顏色。當n為偶數時，Wn的色數為4，且當n ≥ 6時不是完美圖。W7是輪圖中在歐幾里得平面上的唯一一個單位距離圖[4]。
輪圖Wn的色多項式為 。
在擬陣論中，兩類重要的擬陣輪擬陣（英語：wheel matroids）和旋擬陣（英語：whirl matroids）的概念都是輪圖的推廣。
輪圖W6是埃爾德什·帕爾對拉姆齊理論一個猜想的反例：他猜想在色數相同的圖中，完全圖的拉姆齊數是最小的。但後來有研究發現W6的拉姆齊數是17，而與之色數相同的完全圖K4的拉姆齊數則是18[5]。也就是說，對於任意17節點的圖G，G或它的補圖一定有子圖W6；而17節點的Paley圖和它的補圖都沒有子圖K4。
參考資料
編輯- ^ Weisstein, Eric W. (編). Wheel Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ Rosen, Kenneth H. Discrete Mathematics and Its Applications 7th. McGraw-Hill. 2011: 655. ISBN 978-0073383095.
- ^ Trudeau, Richard J. Introduction to Graph Theory Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 56 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始內容存檔於2019-05-05）.
- ^ Buckley, Fred; Harary, Frank, On the euclidean dimension of a wheel, Graphs and Combinatorics, 1988, 4 (1): 23–30, doi:10.1007/BF01864150.
- ^ Faudree, Ralph J.; McKay, Brendan D., A conjecture of Erdős and the Ramsey number r(W6), J. Combinatorial Math. and Combinatorial Comput., 1993, 13: 23–31 [2021-08-21], （原始內容存檔於2012-02-05）.