辛普森悖論

辛普森悖論（英語：Simpson's paradox），是機率和統計中的一種現象，其中趨勢出現在幾組數據中，但當這些組被合併後趨勢消失或反轉。這個結果在社會科學和醫學科學統計中經常遇到^[1]^[2]^[3]，當頻率數據被不恰當地給出因果解釋時尤其成問題^[4]。當干擾變數和因果關係在統計建模中得到適當處理時，這個悖論就可以得到解決^[4]^[5]。辛普森悖論已被用來說明統計誤用可能產生的誤導性結果^[6]^[7]。

該現象於20世紀初就有人討論，但一直到1951年，愛德華·H·辛普森在他發表的論文中闡述此一現象後，該現象才算正式被描述解釋。後來就以他的名字命名此悖論，即辛普森悖論。此悖論的最終原因和選擇偏差（英語：selection bias）、倖存者偏差、以及柏克森悖論（英語：Berkson's paradox）一樣，是源自對撞因子（存疑！應為混淆變數(confounder)）。

舉例

一所美國高校的兩個學院，分別是法學院和商學院。新學期招生，人們懷疑這兩個學院有性別歧視。現作如下統計：

法學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合計	59	146	205

商學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合計	293	59	352

根據上面兩個表格來看，女生在兩個學院都被優先錄取，即女生的錄取比率較高。現在將兩學院的數據匯總：

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合計	352	205	557

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。

女生單獨兩個矢量斜率都比男生大，說明它們的比率都比較高。但最後男生母體向量斜率卻大於女生

藉助一幅向量圖可以更好的了解情況（右圖）

這個例子說明，簡單的將分組數據相加匯總，是不能反映真實情況的。

就上述例子說，導致辛普森悖論有兩個前提。

兩個分組的錄取率相差很大，就是說法學院錄取率很低，而商學院卻很高。而同時兩種性別的申請者分布比重相反。女性申請者的大部分分布在法學院，相反，男性申請者大部分分布於商學院。結果在數量上來說，拒收率高的法學院拒收了很多的女生，男生雖然有更高的拒收率，但被拒收的數量卻相對不算多。而錄取率很高的商學院錄取了很多男生，使得最後匯總的時候，男生在數量上反而占優。
有潛在因素影響著錄取情況。就是說，性別並非是錄取率高低的唯一因素，甚至可能是毫無影響的。至於在學院中出現的比率差，可能是隨機事件。又或者是其他因素作用，比如入學成績，卻剛好出現這種錄取比例，使人誤認為這是由性別差異而造成的。

為了避免辛普森悖論的出現，就需要斟酌各分組的權重，並乘以一定的係數去消除以分組數據基數差異而造成的影響。同時，我們必需清楚了解情況，以綜合考慮是否存在造成此悖論的潛在因素。

參考文獻

Skript zur Statistik in der Naturwissenschaften(Gerhard Osius, Universität Bremen)

^ Clifford H. Wagner. Simpson's Paradox in Real Life. The American Statistician. February 1982, 36 (1): 46–48. JSTOR 2684093. doi:10.2307/2684093.
^ Holt, G. B. (2016). Potential Simpson's paradox in multicenter study of intraperitoneal chemotherapy for ovarian cancer. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Journal of Clinical Oncology, 34(9), 1016–1016.
^ Franks, Alexander; Airoldi, Edoardo; Slavov, Nikolai. Post-transcriptional regulation across human tissues. PLOS Computational Biology. 2017, 13 (5): e1005535. Bibcode:2017PLSCB..13E5535F. ISSN 1553-7358. PMC 5440056  . PMID 28481885. arXiv:1506.00219  . doi:10.1371/journal.pcbi.1005535.
^ ^4.0 ^4.1 Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.
^ Kock, N., & Gaskins, L. (2016). Simpson's paradox, moderation and the emergence of quadratic relationships in path models: An information systems illustration. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） International Journal of Applied Nonlinear Science, 2(3), 200–234.
^ Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.
^ Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7

[1] Clifford H. Wagner. Simpson's Paradox in Real Life. The American Statistician. February 1982, 36 (1): 46–48. JSTOR 2684093. doi:10.2307/2684093.

[2] Holt, G. B. (2016). Potential Simpson's paradox in multicenter study of intraperitoneal chemotherapy for ovarian cancer. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Journal of Clinical Oncology, 34(9), 1016–1016.

[VogelFranks2017-3] Franks, Alexander; Airoldi, Edoardo; Slavov, Nikolai. Post-transcriptional regulation across human tissues. PLOS Computational Biology. 2017, 13 (5): e1005535. Bibcode:2017PLSCB..13E5535F. ISSN 1553-7358. PMC 5440056  . PMID 28481885. arXiv:1506.00219  . doi:10.1371/journal.pcbi.1005535.

[pearl-4] 4.0 ^4.1 Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.

[5] Kock, N., & Gaskins, L. (2016). Simpson's paradox, moderation and the emergence of quadratic relationships in path models: An information systems illustration. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） International Journal of Applied Nonlinear Science, 2(3), 200–234.

[6] Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.

[7] Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

辛普森悖論

舉例

相關條目

參考文獻