重對數律

在概率論中，重對數律(LIL)用來描述一個隨機漫步的振幅。其最早為Aleksandr Y. Khinchin在1924年所敘述^[1]；之後Andrey N. Kolmogorov在1929年給出了另一個敘述^[2]。由於定理中出現了二重對數，故名。

內容

令 $\{Y_{n}\}$ 是一列獨立同分布的隨機變量，其期望為0，方差為1；且記 $S_{n}=Y_{1}+\ldots +Y_{n}$ ，那麼：

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1,\qquad {\text{a.s.}},$

其中「log」是自然對數，「lim sup」是上極限，「a.s.」是「幾乎必然」^[3]。

^ A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924. (The author's name is shown here in an alternate transliteration.)
^ A. Kolmogoroff. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Mathematische Annalen, 101:126-135, 1929. (At the Göttinger DigitalisierungsZentrum web site （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
^ Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)