霍普夫不變量

數學特別是代數拓撲學中,霍普夫不變量(英語:Hopf invariant)是球面之間某些映射的一個同倫不變量。

歷史

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1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行Clifford parallel英語Clifford parallel)構造了霍普夫映射  ,並通過利用圓周   對任意  環繞數(=1),證明了   是本質的,即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫群   是由   生成的無限循環群。1951年,讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面(  奇)有理同倫群   是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面(  偶),在   次處多出一個無限循環同倫。對此有一種有趣的看法:

定義

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  是一個連續映射(假設  )。則我們可以構造胞腔復形

 

這裡   -維圓盤通過   貼上一個  。 胞腔鏈群   在度數   只是由  -胞腔自由生成,故它們在度數 0、   ,其餘都是零。胞腔(上)同調是該鏈復形的(上)同調,因為所有邊緣同態必然是零(注意到  ),上同調是

 

記這些上同調群的生成元為

  

因為維數原因,這些類之間的所有杯積除了   一定都是平凡的。從而作為一個環,上同調是

 

整數   是映射  霍普夫不變量

性質

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定理  是一個同態。進一步,如果   是偶數,則   映到  

對霍普夫映射霍普夫不變量是  (這裡  ,分別對應於實可除代數  ,而二重覆疊   將球面上的一個方向送到它生成的子空間)。只有這些映射的霍普夫不變量是 1,這是最先由弗蘭克·亞當斯Frank Adams英語Frank Adams)證明的一個定理,後來麥可·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。

推廣到穩定映射

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可以定義一種非常一般的霍普夫不變量概念,但需要一些同倫論知識預備:

  表示一個向量空間而   是其單點緊化,即對某個    。如果   是任意帶基點的空間(在上一節中不明確),如果我們去無窮遠點  的基點,則我們可以構造楔積  

現在令   是一個穩定映射,即在約化垂緯函子下穩定。  的(穩定)幾何霍普夫不變量

 

是從    映射的穩定  -等變同倫群中一個元素。這裡穩定意為「在垂緯下穩定」,即通常等變同倫群在   上(或  ,如果你願意)的正向極限;而  -作用是   的平凡作用與交換   中兩個因子。如果我們令   表示典範對焦映射而   是恆等,則霍普夫不變量由下式定義:

 

這個映射原本是從    的映射,但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫  -等變群的典型元素。

也有一個非穩定版本的霍普夫不變量  ,為此我們必須考慮向量空間  

參考文獻

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  • Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
  • Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38