靜力學

靜力學是經典力學的分支，專門解析物體在靜力平衡狀態下的負載（力量，力矩）。在這狀態下，或許有外力作用於此物體；但是，各個分系統的相對位置、成分、結構仍舊保持不變。當呈靜力平衡狀態時，系統或者是靜止的，或者其質心維持常速運動，處於力學平衡狀態。

在靜力學上，靜力解析的焦點是放在比較靜力學，就是比較各種不同的靜力平衡狀態。它除了稍微提到外生變數造成的變動外，並不注重狀態間的過程。

設 ${\textbf {F}}$ 為施於系統上的合力， $m$ 為系統總質量， ${\textbf {a}}$ 為系統加速度，則依照牛頓運動第二定律有 ${\textbf {F}}=m{\textbf {a}}\,$ （粗體表示向量，即有方向的量）。

將加速度為零的假設應用於外力力矩求和，可得 ${\textbf {M}}=I\alpha =0$ ，其中 ${\textbf {M}}$ 是外力力矩之和， $I$ 是質量慣性矩， $\alpha$ 是系統的角加速度。對於 $\alpha =0$ 的系統，也有 ${\textbf {M}}=0.$

外淨力 ${\textbf {F}}=m{\textbf {a}}=0$ 又稱為靜力平衡第一條件，外淨力矩 ${\textbf {M}}=I\alpha =0$ 又稱為靜力平衡第二條件，可以用來求解作用於系統的未知量。

歷史

阿基米德（c. 287–c. 212 BC）在靜力學領域做了先驅工作。^[1]^[2]薩比特的著作中有一些後來的工作。^[3]

背景

力

力是物體對另一個物體的作用，可以是推力，也可以是拉力，趨向於使物體沿其作用方向移動。力的作用由其大小、作用方向和作用點決定。因此，力是一個矢量，因為其效果既取決於作用方向，也取決於作用大小。^[4]

力分為接觸力和體積力。接觸力由直接物理接觸產生，例如支撐表面對人體施加的力；體積力由體在力場（如引力場、電場或磁場）中的位置產生，與任何其他接觸無關。地球引力場中的物體重量是體積力的一個例子。^[5]

力矩

除了使物體沿作用方向移動的趨勢外，力還能使物體繞軸旋轉，軸線和力的方向之間是任意的。這種旋轉趨勢稱作力矩（M），也稱為扭矩。

關於點的力矩

力F的力臂示意圖。

力在O點的力矩大小等於O到F作用線的距離乘以力的大小：M = F · d，其中

F = 施加的力

d = 從軸線到力的作用線的距離，稱作力臂。

力矩的方向由右手定則給出，逆時針代表指出紙面，順時針表示進入紙面。力矩方向可用符號約定表示，例如逆時針用正號（+）表示，順時針用負號（−）表示，反之亦然。力矩可以矢量形式相加。

用向量形式來寫，力矩可以定義為徑向量r與力向量F的叉乘：^[6]

{\textbf {M}}_{O}={\textbf {r}}\times {\textbf {F}}

r=\left({\begin{array}{cc}x_{00}&...&x_{0j}\\x_{01}&...&x_{1j}\\...&...&...\\x_{i0}&...&x_{ij}\\\end{array}}\right)

F=\left({\begin{array}{cc}f_{00}&...&f_{0j}\\f_{01}&...&f_{1j}\\...&...&...\\f_{i0}&...&f_{ij}\\\end{array}}\right)

伐里農定理

伐里農定理指出，力對任意點的力矩等於力對同一點各分力的力矩之和。

平衡方程

質點的靜力平衡是靜力學中的重要概念。只有當質點受外力為零時，質點才處於平衡狀態。在矩形坐標系中，平衡方程可用3個純量方程表示，3個方向的合力都等於零。這概念在工程上的應用是確定3根纜繩在負載下的張力，例如提升物體的升降機或將熱氣球固定在地面上的纜繩上施加的力。^[7]

轉動慣量

經典力學中，轉動慣量（SI單位kg·m²），是物體對其旋轉變化的阻力的量度，是旋轉體相對於其旋轉的慣性。轉動慣量在旋轉動力學中的作用與質量在線性動力學中的作用大致相同，描述了角動量與角速度、轉矩與角加速度以及其他幾個量之間的關係。I 和 J 通常指慣性矩或極慣性矩。

雖然轉動慣量的簡單純量處理在許多情況下已經足夠，但更高級的張量處理可以分析陀螺運動等複雜系統。

這一概念由萊昂哈德·歐拉在《天體運動論》（1765）一書中提出；他討論了轉動慣量和許多相關概念，如慣性主軸。

應用

固體

靜力學在分析結構上是很重要的。舉例而言，在建築學與結構工程學里，材料的強度常需應用到靜力平衡。一個關鍵概念是質心，即物體所有質量所在的假想點。質心所在的地基位置決定了物體在外力作用下的穩定性。若質心在地基之外，物體就不穩，因為有扭矩起作用：任何微擾都會使物體下墜或傾覆。若質心在地基內，則物體穩定，因為沒有淨扭矩作用在物體上。若質心與地基重合，則稱系統處於准穩態。

流體

流體靜力學研究靜止狀態下的液體。靜態液體的特性是內部每個分子所受的力在任何方向都是同值的。否則，液體會往淨力向量的方向流去。這概念是由法國數學家布萊茲·帕斯卡在1647年提出的，後來又稱為帕斯卡定律。它在水力學中有許多重要應用。阿基米德、比魯尼、Al-Khazini^[8]和伽利略·伽利萊在靜力學上也有很大的貢獻。

參閱

注釋

^ Lindberg, David C. The Beginnings of Western Science . Chicago: The University of Chicago Press. 1992: 108-110. ISBN 9780226482316.
^ Grant, Edward. A History of Natural Philosophy . New York: Cambridge University Press. 2007: 309-10.
^ Holme, Audun. Geometry : our cultural heritage 2nd. Heidelberg: Springer. 2010: 188. ISBN 978-3-642-14440-0.
^ Meriam, James L., and L. Glenn Kraige. Engineering Mechanics (6th ed.) Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 2007; p. 23.
^ Engineering Mechanics, p. 24
^ Hibbeler, R. C. Engineering Mechanics: Statics, 12th Ed. . New Jersey: Pearson Prentice Hall. 2010. ISBN 978-0-13-607790-9.
^ Beer, Ferdinand. Vector Statics For Engineers. McGraw Hill. 2004. ISBN 0-07-121830-0.
^ Mariam Rozhanskaya and I. S. Levinova (1996), "Statics", p. 642, in (Morelon & Rashed 1996，第614–642頁):
「阿拉伯科學家利用一整套數學方法（不僅包括從古代比率論和小量技術中繼承下來的方法，還包括當代代數方法和精細計算技術）將靜力學提高到了更高水平。阿基米德重心理論的古典成果得到了推廣，應用於三維物體，建立了可量槓桿理論，創立了『重力科學』，後來在中世紀歐洲得到進一步發展。用動力學方法研究靜力學現象的過程中，靜力學和動力學這兩種趨勢逐漸形成了力學這門單一科學。動力學方法與阿基米德流體力學的結合產生了所謂『中世紀流體力學』。[...]為稱量特定的重量，人們發明了許多試驗方法，尤以天平和稱量理論為基礎。al-Biruni和al-Khazini的經典著作可被視為實驗方法在中世紀科學中應用的開端。」

參考文獻

Beer, F.P. & Johnston Jr, E.R. Statics and Mechanics of Materials. McGraw-Hill, Inc. 1992.
Beer, F.P.; Johnston Jr, E.R.; Eisenberg. Vector Mechanics for Engineers: Statics, 9th Ed.. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-352923-3.
Morelon, Régis; Rashed, Roshdi (編), Encyclopedia of the History of Arabic Science 3, Routledge, 1996, ISBN 978-0415124102

外部連結

教育部進修網站，靜力學

[1] Lindberg, David C. The Beginnings of Western Science . Chicago: The University of Chicago Press. 1992: 108-110. ISBN 9780226482316.

[2] Grant, Edward. A History of Natural Philosophy . New York: Cambridge University Press. 2007: 309-10.

[holme-3] Holme, Audun. Geometry : our cultural heritage 2nd. Heidelberg: Springer. 2010: 188. ISBN 978-3-642-14440-0.

[4] Meriam, James L., and L. Glenn Kraige. Engineering Mechanics (6th ed.) Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 2007; p. 23.

[5] Engineering Mechanics, p. 24

[6] Hibbeler, R. C. Engineering Mechanics: Statics, 12th Ed. . New Jersey: Pearson Prentice Hall. 2010. ISBN 978-0-13-607790-9.

[7] Beer, Ferdinand. Vector Statics For Engineers. McGraw Hill. 2004. ISBN 0-07-121830-0.

[Rozhanskaya-642-8] Mariam Rozhanskaya and I. S. Levinova (1996), "Statics", p. 642, in (Morelon & Rashed 1996，第614–642頁):
「阿拉伯科學家利用一整套數學方法（不僅包括從古代比率論和小量技術中繼承下來的方法，還包括當代代數方法和精細計算技術）將靜力學提高到了更高水平。阿基米德重心理論的古典成果得到了推廣，應用於三維物體，建立了可量槓桿理論，創立了『重力科學』，後來在中世紀歐洲得到進一步發展。用動力學方法研究靜力學現象的過程中，靜力學和動力學這兩種趨勢逐漸形成了力學這門單一科學。動力學方法與阿基米德流體力學的結合產生了所謂『中世紀流體力學』。[...]為稱量特定的重量，人們發明了許多試驗方法，尤以天平和稱量理論為基礎。al-Biruni和al-Khazini的經典著作可被視為實驗方法在中世紀科學中應用的開端。」

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