黎曼–希爾伯特問題

數學中，得名於伯恩哈德·黎曼和大衛·希爾伯特的黎曼–希爾伯特問題是在複平面研究微分方程時出現的一類問題。馬克·克林、Israel Gohberg等人提出了這種問題的存在性定理（見Clancey & Gohberg (1981)）。

黎曼問題

設$\Sigma$為複平面中的簡單閉合輪廓，將複平面分為$\Sigma _{+}$（內側）與$\Sigma _{-}$（外側）兩部分，分別用輪廓相對於點的卷繞數決定。黎曼的博士論文（參Pandey (1996)）考慮的經典問題是尋找函數

$M_{+}(z)=u(z)+iv(z)$

在$\Sigma _{+}$解析，這樣M₊沿$\Sigma$的邊界值滿足方程

$a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)$

$\forall z\in \Sigma$，其中a、b、c為給定的實值函數(Bitsadze 2001)。

據黎曼映射定理，只需考慮$\Sigma$是單位圓的狀況即可(Pandey 1996，§2.2)。這時可以尋找M₊(z)及其施瓦茲反射：

$M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.$

在單位圓Σ上，有$z=1/{\bar {z}}$，因此

$M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}},\quad z\in \Sigma .$

於是問題簡化為找到一對分別在單位圓內外解析的函數M₊(z) and M₋(z)，所以在單位圓上

${\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),$

且無窮遠處的條件成立：

$\lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\overline {{M}_{+}(0)}}.$

希爾伯特問題

希爾伯特的推廣：試找到分別在曲線Σ內外側解析的M₊與M₋，使在$\Sigma$上有

$\alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)$

其中α、β、c是任意給定的復值函數（不再只是復共軛函數）。

黎曼–希爾伯特問題

黎曼問題和希爾伯特推廣中，輪廓$\Sigma$都是簡單的。完整的黎曼–希爾伯特問題允許輪廓由多條不相交的定向光滑曲線的聯合構成，其+、−側可根據點相對於輪廓的卷繞數確定。黎曼–希爾伯特問題試圖在+、−側分別找到解析的函數M₊、M₋，且滿足方程

$\alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)$

$\forall z\in \Sigma .$

推廣：矩陣分解問題

給定有向「輪廓」Σ（嚴格來說：複平面內沒有無窮多自交點的平滑曲線的有向聯合），黎曼–希爾伯特分解問題如下：

給定定義在輪廓Σ上的矩陣函數V，求定義在Σ之補上的全純矩陣函數M，且要滿足兩個條件：

1. 若M₊、M₋表示M在接近Σ時的非切向極限，則在Σ的所有非交點上有M₊ = M₋V。
2. z沿Σ之外的任何方向趨向無窮大時，M趨向於單位矩陣。

最簡單的情況下，V光滑可積。較複雜的情形下，其可能存在奇異點。極限M₊、M₋可以是經典、連續的，也可以是L₂意義上的。 在輪廓Σ的端點或交點，跳躍條件沒有定義，必須對附近M的增長加以限制，以確保唯一性（下詳）。

在可積性理論中的應用

黎曼–希爾伯特問題可用於幾類相關問題。

A. 可積模型：與線上1+1維偏微分方程的柯西問題或周期問題或初邊值問題（Fokas (2002)）相關的逆散射問題或逆譜問題，都可視作是黎曼–希爾伯特問題。同樣，潘勒韋解的逆單值性問題也可視作是黎曼–希爾伯特問題。

B. 正交多項式、隨機矩陣：給定輪廓上的權重，可通過黎曼–希爾伯特分解，計算出相應的正交多項式（Fokas, Its & Kitaev (1992)）。另外，若干經典問題中隨機矩陣特徵值的分布也可簡化為設計正交多項式的計算（如Deift (2000)）。

C. 組合概率：最著名的例子是Baik, Deift & Johansson (1999)關於隨機排列最長遞增子序列長度分布的定理。它與上述B.研究一起，是對所謂「可積概率」的嚴格研究之一。不過，可積理論與各種經典隨機矩陣集合之間的聯繫可追溯到Dyson的研究（如Dyson (1976)）。

D. 與唐納森-托馬斯理論的聯繫：Bridgeland (2019)的工作研究了一類來自唐納森-托馬斯理論的黎曼-希爾伯特問題，並將其與格羅莫夫-威滕理論與精確WKB聯繫起來。

黎曼-希爾伯特問題的數值分析為數值求解可積偏微分方程提供了有效途徑，參Trogdon & Olver (2016)。

用於漸進

黎曼–希爾伯特分解問題可用於提取上述3個問題的漸進值（如當時間趨向無窮大，或分散係數趨向0，或多項式次數趨向無窮大，或置換的大小趨向無窮大）。有一種提取黎曼–希爾伯特問題解的漸進行為的方法，類似於適於指數積分的穩相近似法和最速下降法。

通過與經典漸近方法類比，可將無法明確求解的黎曼–希爾伯特問題「變形」為可以明確求解的問題。所謂穩相「非線性」法由Deift & Zhou (1993)提出，推廣了Its (1982)、Manakov (1974)以前的想法，並使用了Beals & Coifman (1984)、Zhou (1989)的技術背景結果。Deift–Zhou分析的關鍵要素是輪廓上奇異積分的漸進分析。相關核是標準柯西核（見Gakhov (2001)；另參下文的純量示例）。

穩相非線性法的重要擴展是Deift, Venakides & Zhou (1997)引入的所謂有限間隙g函數變換，這在大多數應用中都至關重要。這是受Lax、Levermore、Venakides的工作啟發，他們將KdV方程的小分散極限分析簡化為某外部場下對數勢最大化問題的分析：「靜電」類型的變分問題（參Lax & Levermore (1983)）。g函數是最大化「均勢」度量的對數變換。事實上，對KdV方程的小分散極限分析，為「實」正交多項式（即在實線上定義了正交條件）和厄米隨機矩陣相關的大部分工作提供了分析基礎。

到目前為止，該理論最複雜的擴展可能是Kamvissis, McLaughlin & Miller (2003)對「非自交」情形的應用，即當基本Lax算子（Lax 對的第一個分量）不自交時。那時，需要定義和計算實際的「最速下降輪廓」。相應的變分問題是最值問題：尋找能使「均勢」度量最小的輪廓。Kamvissis & Rakhmanov (2005)對這變分問題進行了研究，並證明了在外部場的某些條件下存在規則解；產生的輪廓是「S形曲線」，1980年代由Herbert R. Stahl、Andrei A. Gonchar、Evguenii A Rakhmanov定義並研究。

McLaughlin & Miller (2006)提供了黎曼–希爾伯特分解問題的另一種漸進分析法。在跳躍矩陣沒有解析擴展時尤其方便。他們的方法基於對Dbar問題的分析，而非對輪廓上奇異積分的漸進分析。Varzugin (1996)提出了另一種處理非解析推廣的跳躍矩陣的方法。

該理論的另一種推廣見於Kamvissis & Teschl (2012)，黎曼–希爾伯特問題的基礎空間是緊超橢黎曼曲面。根據黎曼-羅赫定理，正確的分解問題不再是全純的，而是亞純的。相關的奇異核也不是通常的柯西核，而是涉及曲面自然定義的亞純微分的更一般的核（參Kamvissis & Teschl (2012)附錄）。黎曼–希爾伯特問題變形理論適於無限周期戶田晶格在「短程」擾動（如有限多粒子的擾動）下的穩定性問題。

文獻中研究的黎曼–希爾伯特分解問題大多是2維的，即未知矩陣的維數為2。Arno Kuijlaars及同事研究了更高維的情形，參Kuijlaars & López (2015)。

例子：純量黎曼–希爾伯特分解問題

設V = 2，Σ是z = −1到z = 1的輪廓。設M有界，則M的解為？

要解該問題，我們先取方程$M_{+}=M_{-}V$的對數：

$\log M_{+}(z)=\log M_{-}(z)+\log 2.$

由於$M\to 1\Rightarrow \lim _{z\to \infty }\log M\to 0$。

關於柯西變換的一個標準事實是$C_{+}-C_{-}=I$，當中$C_{+},C_{-}$是柯西變換在Σ上下的極限，於是有

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{+}}{\frac {\log 2}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{-}}{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}\,d\zeta =\log 2{\text{ when }}z\in \Sigma .$

由於黎曼–希爾伯特分解問題的M的解唯一（劉維爾定理的應用），可用索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理得到解。

$\log M={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma }{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\int _{-1-z}^{1-z}{\frac {1}{\zeta }}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\log {\frac {z-1}{z+1}},$

即

$M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}}$

其在輪廓$\Sigma$處有1個分支。 檢驗：

${\begin{aligned}M_{+}(0)&=(e^{i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{\frac {\log 2}{2}}\\M_{-}(0)&=(e^{-i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{-{\frac {\log 2}{2}}}\end{aligned}}$

於是，

$M_{+}(0)=M_{-}(0)e^{\log {2}}=M_{-}(0)2.$

注意1：若問題不是純量，就不能輕易取對數。一般來說顯式解非常罕見。

注意2：M在特殊點$\pm 1$附近的有界性（或至少是增長的限制）至關重要，否則任何

$M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}}+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z+1}}$

形式的函數也是解。一般來說，需要在特殊點（跳躍輪廓的端點或交點）上設置增長約束，以確保問題適定。

另見

• 黎曼–希爾伯特對應

參考文獻

• Baik, J.; Deift, P.; Johansson, K., On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations, Journal of the American Mathematical Society, 1999, 12 (4): 1119–1178, doi:10.1090/S0894-0347-99-00307-0  .
• Beals, R.; Coifman, R.R., Scattering and inverse scattering for first order systems, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, 37: 39–90, doi:10.1002/cpa.3160370105 .
• Bitsadze, A.V., Boundary value problems of analytic function theory, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bridgeland, T., Riemann–Hilbert problems from Donaldson–Thomas theory, Inventiones Mathematicae, 2019, 216: 69–124 .
• Clancey, K.; Gohberg, I., Factorization of matrix functions and singular integral operators, Oper. Theory: Advances and Appl. 3, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, 1981 .
• Deift, Percy A., Orthogonal Polynomials and Random Matrices, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2695-9 .
• Deift, Percy; Venakides, S.; Zhou, X., New Results in Small Dispersion KdV by an Extension of the Steepest Descent Method for Riemann–Hilbert Problems, International Mathematical Research Notices: 286–299, 1997 .
• Deift, Percy; Zhou, X., A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann–Hilbert Problems; Asymptotics for the MKdV Equation, Annals of Mathematics, Second Series, 1993, 137 (2): 295–368, JSTOR 2946540, S2CID 12699956, arXiv:math/9201261 , doi:10.2307/2946540 .
• Dyson, Freeman, Fredholm Determinants and Inverse Scattering Problems, Communications in Mathematical Physics, 1976, 47 (3): 171–183, Bibcode:1976CMaPh..47..171D, S2CID 122511904, doi:10.1007/BF01608375 .
• Fokas, A.S., Integrable nonlinear evolution equations on the half-line, Communications in Mathematical Physics, 2002, 230 (1): 1–39, Bibcode:2002CMaPh.230....1F, S2CID 118630271, doi:10.1007/s00220-002-0681-8 .
• Fokas, A.S.; Its, A.R.; Kitaev, A.V., The isomonodromy approach to matrix models in 2D quantum gravity, Communications in Mathematical Physics, 1992, 147 (2): 395–430, Bibcode:1992CMaPh.147..395F, S2CID 118343085, doi:10.1007/BF02096594 .
• Gakhov, F.D., Riemann–Hilbert problem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Khimshiashvili, G., Birkhoff factorization, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Its, A.R., Asymptotics of Solutions of the Nonlinear Schrödinger Equation and Isomonodromic Deformations of Systems of Linear Differential Equations, Soviet Mathematics - Doklady, 1982, 24 (3): 14–18 .
• Its, A.R., The Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems (PDF), Notices of the AMS, 2003, 50 (11): 1389–1400 .
• Kamvissis, S.; McLaughlin, K.; Miller, P., Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation, Annals of Mathematics Study 154, Princeton: Princeton University Press, 2003 .
• Kamvissis, S.; Rakhmanov, E.A., Existence and Regularity for an Energy Maximization Problem in Two Dimensions, Journal of Mathematical Physics, 2005, 46 (8): 083505, Bibcode:2005JMP....46h3505K, S2CID 17284652, arXiv:0907.5571 , doi:10.1063/1.1985069 .
• Kamvissis, S.; Teschl, G., Long-time asymptotics of the periodic Toda lattice under short-range perturbations, J. Math. Phys., 2012, 53 (7): 073706, Bibcode:2012JMP....53g3706K, S2CID 2579238, arXiv:0705.0346 , doi:10.1063/1.4731768 .
• Kuijlaars, Arno; López, Abey, A vector equilibrium problem for the normal matrix model, and multiple orthogonal polynomials on a star, Nonlinearity, 2015, 28 (2): 347–406, Bibcode:2015Nonli..28..347K, S2CID 119171871, arXiv:1401.2419 , doi:10.1088/0951-7715/28/2/347 .
• Lax, Peter D.; Levermore, C.D., The Zero Dispersion Limit for the KdV Equation I-III, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1983, 36 (3): 253–290, 571–593, 809–829, doi:10.1002/cpa.3160360302 .
• Manakov, S.V., Nonlinear Fraunnhofer diffraction, Sov. Phys. JETP, 1974, 38: 693–696, Bibcode:1974JETP...38..693M .
• McLaughlin, K.; Miller, P., The d-bar steepest descent method and the asymptotic behavior of polynomials orthogonal on the unit circle with fixed and exponentially varying nonanalytic weights, IMRP, 2006: 1–77 .
• Pandey, J.N., The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications, Wiley-Interscience, 1996 .
• Varzugin, G.G., Asymptotics of oscillatory Riemann-Hilbert problems, Journal of Mathematical Physics, 1996, 37 (11): 5869–5892, Bibcode:1996JMP....37.5869V, doi:10.1063/1.531706 .
• Trogdon, Thomas; Olver, Sheehan, Riemann–Hilbert Problems, Their Numerical Solution, and the Computation of Nonlinear Special Functions, SIAM, 2016 .
• Zhou, Xin, The Riemann–Hilbert problem and inverse scattering, SIAM J. Math. Anal., 1989, 20 (4): 966–986, doi:10.1137/0520065 .