討論:域 (數學)
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定義
編輯- F是一個集合
- 二元操作符可用任何符號做標記。視應用而定。比如當F的元素為集合Ω的子集時,一般記為'∩'和' ',更一般的把它們記為+和.(這就是原因叫作加跟乘)。
域(F,兩個二元操作符)滿足下列性質:
- 1. F對兩個操作封閉。
- 2. 一個操作(.或∩)對另一個操作(+或)符合分配律。
- 3. 兩個操作都符合結合率。(a+b)+c=a+(b+c) (a.b).c=a.(b.c)
- 4. 兩個操作都符合交換率。a+b=b+a a.b=b.a
- 5. 兩個操作都存在標識元。a+0=a ( ø=a) a.1=a (a∩Ω)=a
- 6. 兩個操作都存在逆元。a+(-a)=0 (a a'=Ω) a.a^(-1)=1 (a∩a')=ø
最好將環,半環,群,半群等都列在一起。 A group (F,one operator) satisfies the following property:
- F is closed for the operation.
- The operation is associative.
- Identity for the operation is included.
- Inverses for the operation is included.
A semigroup doesn't require the identity and inverses.
環(F,兩個二元操作符)滿足下列性質(環比域要定義的松一些):
- 1. F對兩個操作封閉。
- 2. 一個操作(.或∩)對另一個操作(+或 )符合分配律。
- 3. 兩個操作都符合結合率。
- 4. 一個操作都符合交換率。
- 5. 可交換操作都存在標識元和逆元。
- 6. 另一個操作都存在標識元。
A semiring doesn't require the inverses for the commutative operation included in F.
A ring becomes a field when two operations are commutative and have inverses included.
A field is a ring, a ring is a semiring, a semiring is a group.
僅供參考。Jackzhp 23:26 2006年9月4日 (UTC)
一些補充信息
編輯Ω集合,2^Ω (或記為P(Ω))的子集S是semi-algebra半代數,如果
- 1. 空集和Ω屬於S。
- 2. 對有限交封閉。
- 3. 如A屬於S,A的補=UBi, Bi屬於S, Bi∩Bj=空
S是algebra代數/field域,如果
- 1. 空集和Ω屬於S。
- 2. 對有限並封閉。
- 3. 對補封閉。
由2和3,可以推出對有限交封閉。
S是σ-algebraσ代數/σfieldσ域,如果
- 1. 空集和Ω屬於S。
- 2. 對可數並封閉。
- 3. 對補封閉。
當域對可數並封閉,這個域就是一個σ域。 將半代數中互不相交的元素進行有限並將形成一個代數。你可以嘗試將證明貼在下面。Jackzhp 16:36 2006年9月8日 (UTC)