三格骨牌
三格骨牌（Tromino），又稱三連塊，是一種多格骨牌，每塊以三個全等的正方形連成[1]，若一骨牌翻面或是旋轉後，仍視為同一種骨牌的話，共有兩種三格骨牌，可以由英文字母I和L代表（L有時也會表示為V）。
若一骨牌翻面後的形狀和原來不同時，可以不視為同一種骨牌，但由於二種三格骨牌都是軸對稱，骨牌翻面之後圖案都和原來相同，因此仍然只有二種三格骨牌。若一骨牌翻面或是旋轉後形狀和原來不同，可以不視為同一種骨牌，I形骨牌可以旋轉90度，而L形骨牌可以旋轉90度、180度及270度，再加上原來的二種，這樣就會有六種三格骨牌[2][3]。
三格骨牌定理
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若在2n×2n的棋盤抽走其中一個單位正方形，剩下的圖形可被一定數量的L形三格骨牌互不重疊地覆蓋。
這個定理由多格骨牌的發明人——一名22歲的哈佛學生Solomon Golomb提出[4]。
證明
编辑使用數學歸納法：
當n=1：從2×2的棋盤抽走一個單位正方形，必定是一個L形三格骨牌，它自然可被L形三格骨牌覆蓋。
假設在2n×2n的棋盤抽走其中一個單位正方形，剩下的圖形可被完全覆蓋：
- 將2n+1×2n+1棋盤分成四個2n×2n的部分。
- 將不包含沒有抽走單位正方形的三個部分，各在接近2n+1×2n+1棋盤中心的角上抽走一個單位正方形。
- 這三個單位正方角就組成一個L形三格骨牌。
- 根據假設，剩下的四個被抽走一個單位正方形的2n×2n的部分，都可被完全覆蓋。
當2n×2n可被完全覆蓋時，2n+1×2n+1也可。
三格L形骨牌自分割問題
编辑三格L形骨牌有一個特點，L形骨牌可以分割為四個長度只有原來一半的L形骨牌，若將骨牌再往下分割，可以分割為4n片大小更小的骨牌。
若針對任何的數字n，也可以將三格L形骨牌分割為n2片較小的三格L形骨牌。
參考資料
编辑- ^ Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Triomino. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-12-05]. （原始内容存档于2009-11-29） （英语）.
- ^ Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
- ^ Golomb's inductive proof of a tromino theorem at cut-the-knot. [2006-01-21]. （原始内容存档于2006-09-28）.
外部連結
编辑- Tromino Puzzle（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
- Interactive Tromino Puzzle（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Amherst College