代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

性質的比較

給定一個 $\mathbb {C}$ 上的局部有限型概形 $X$ ，可以考慮相應的複解析空間 $X^{\mathrm {an} }$ 。此對應 $X\mapsto X^{\mathrm {an} }$ 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 ${\mathcal {O}}_{X}$ -模 $F$ ，同樣可考慮相應的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ -模 $F^{\mathrm {an} }$ ，這也給出相應的函子。可以證明 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是： ${\mathcal {O}}_{X}$ 是平坦的 ${\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}$ -模。

拓撲性質比較

設 $T\subset X$ 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 $T$ 的性質在 $X$ 中成立，若且唯若在 $X^{\mathrm {an} }$ 中成立：

開子集
閉子集
稠密子集

當 $X$ 為有限型態射時，對於 $X$ 及 $X^{\mathrm {an} }$ 本身，下述性質也是相通的：

連通
不可約

概形性質比較

以下性質對 $X$ 成立，若且唯若對 $X^{\mathrm {an} }$ 成立：

非空
離散
科恩-麥考利概形
$S_{n}$
$R_{n}$
正規
既約
維度等於 $n$

態射性質比較

設 $f:X\to Y$ 為概形的態射， $f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }$ 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 $f$ 成立若且唯若對 $f^{\mathrm {an} }$ 成立：

平坦
非分歧
平展
平滑
正規
既約
分離
單射（拓撲意義）
同構
單射（範疇論意義）
開浸入

若再要求 $f$ 是有限型態射，則可再加入下述性質：

滿射（拓撲意義）
優勢態射
閉浸入
浸入
真態射
有限態射

上同調比較

以下假設 $f:X\to Y$ 是真態射，對任一個凝聚 ${\mathcal {O}}_{X}$ -模 $F$ ，有自然同構：

(R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })

當 $Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C}$ 時，遂有層上同調的比較定理：

H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })

此時 $F\mapsto F^{\mathrm {an} }$ 給出範疇的等價。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理則斷言：若 $X$ 是 $\mathbb {C}$ -上的局部有限型概形，且 ${\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }$ 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 $\mathbb {C}$ -概形 $X'$ 及平展態射 $X'\to X$ ，使得 $X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'$ 。此外，函子 $X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }$ 給出從【 $X$ 的有限平展覆蓋】到【 $X^{\mathrm {an} }$ 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 $X$ 為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：

{\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})

其中 $x_{0}\in X(\mathbb {C} )$ ，而 ${\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}$ 表示代數基本群 $\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})$ 對有限指數子群的完備化。

文獻

J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.