伯克霍夫-格罗滕迪克定理

在代数几何学中，伯克霍夫-格罗滕迪克定理（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻画了复射影直线上的全纯向量丛。具体而言，所有 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ 上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和^[1]。

正式表述

伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ 上，任何一个全纯向量丛 ${\mathcal {E}}$ 总是全纯同构于线丛的直和

${\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).$

该表示在不计直和项的排列顺序的意义下是唯一的。

伯克霍夫-格罗滕迪克定理可以被推广。对于复射影直线 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 上的代数向量丛，该结论也成立，其中 $k$ 是任意的一个域^[2]。

^ Grothendieck, A. Sur La Classification Des Fibres Holomorphes Sur La Sphere de Riemann. American Journal of Mathematics. 1957-01, 79 (1): 121 [2021-01-11]. doi:10.2307/2372388. （原始内容存档于2020-07-06）.
^ Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line. Journal of Pure and Applied Algebra. 1982-08, 25 (2): 207–211 [2021-01-11]. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. （原始内容存档于2019-02-05）（英语）.

Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. Vector bundles on complex projective spaces. Progress in Mathematics. Birkhäuser. 1980.

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