克莱尼不动点定理

数学中,序理论克萊尼不動點定理(英語:Kleene fixed-point theorem)指出给定任何完全格 L 和任何具有斯科特连续性函数

最小不动点存在,如果我们用来表示L内的最小元素,那么

证明

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我们首先定义集合 ,为了方便表示,我们用 来表示集合 中最大的元素,即 。我们想要证明 为函数 的最小不动点。

首先我们证明 为函数 的不动点。因为函数 是斯科特连续的,所以我们有 

接下来我们证明 为函数 的最小不动点。假设函数 存在另外一个不动点 ,因为 , 且函数 为单调函数(由于斯科特连续性),所以 。假设 , 根据数学归纳法, 。 即 为函数 的最小不动点。

参见

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