博苏克-乌拉姆定理

博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。

n = 2的情形，就是说在地球的表面上，一定存在一对对蹠点，它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。

这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk证明了该定理。从博苏克-乌拉姆定理可以推出布劳威尔不动点定理。

一个关于博苏克-乌拉姆定理的更强的陈述，是每一个保持对蹠点的映射

$f:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}$

都具有奇次数。

推论

• Rⁿ的任何子集都不与Sⁿ同胚。
• 如果用n + 1个开集来覆盖球面Sⁿ，那么其中一定有一个开集含有一对对蹠点（与博苏克-乌拉姆定理等价）。
• 火腿三明治定理（对于任何Rⁿ内的紧集$A_{1},\ldots ,A_{n}$，我们总可以找到一个超平面，把每一个紧集都分成两个具有相同测度的子集）。

参见

• 布劳威尔不动点定理
• 拓扑组合学

参考文献

• K. Borsuk, "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre", Fund. Math., 20 (1933), 177-190.
• Jiří Matoušek, "Using the Borsuk–Ulam theorem", Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel'man, "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., Moscow, 1930.
• 从博苏克-乌拉姆定理推出布劳沃不动点定理
• Allen Hatcher: 代数拓扑（自由下载）（页面存档备份，存于互联网档案馆）