庫克-李文定理

庫克-李文定理(英語:Cook–Levin theorem)或者庫克定理(英語:Cook's theorem)是有关計算複雜度理論的一个定理。它證明了布尔可满足性问题(SAT问题)是NP完全問題。即:

  1. 「一個布尔方程式是否存在解」这个问题本身是一个NP問題;
  2. 任何其他NP问题都可以在多項式時間內被一决定型圖靈機歸約成這個問題。

庫克-李文定理是以史蒂芬·库克利奥尼德·李文英语Leonid Levin為名。

這定理一個非常重要的推论为:如果SAT问题可在多项式时间内被一确定型演算法解决,則「所有的」NP問題都存在可在多项式时间内解决之的确定型演算法。因此,有關以上這個演算法存在與否的問題等价于P/NP問題——现代的理論電腦科學中最重要的未解問題之一。

定義

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对于一個決定性問題,如果我們可以使用非決定型圖靈機多項式時間之內解決它,我们称它「在NP內」。

一個「布爾可滿足性問題的成員(instance)」是一個布爾表達式,或者說,一些布爾變數跟布爾邏輯運算符的組合。

对于一個表達式,如果存在某些給予布爾變數真值的方式使得這個表達式的值為真,我们称它「可滿足的」。

概念

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給定任何NP的決定性問題,建立一個可以在多項式時間內解決此問題的非決定型圖靈機。然後,對每個輸入,建立一個布爾表示式,告訴我們這個輸入進去「是否會正確運作,停止,並且回傳答案為真」。那麼,這個表示式就是可滿足的,若且唯若這個機器正確的跑完這個輸入,並且會停止,回答這個輸入是正確的。這樣,問題「這個我們建立的表示式是否可滿足」,與問題「這個圖靈機是否會回傳"真"」就會變成等價的問題。

結果

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這個定理的證明展現了任何NP問題都可以在多項式時間內歸約成(另外事實上,只需要對數空間)轉換成一個布爾可滿足性問題。這代表如果布爾可滿足性問題可以用圖靈機在多項式時間內解決,那麼所有NP內的問題都可以在多項式時間內解決,因此複雜度類NP就會等於複雜度類P。

NP完全的重要性在1972年因為理察·卡普的論文《組合問題之間的可還原性》而清楚的表現出來。裡面列出了二十一個有關組合和圖論的問題(卡普的二十一個NP-完全問題),證明裡面的每個均因為其難以解決而惡名昭彰的問題都是NP完全。[1]

貢獻

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NP完全的概念是在1960年代晚期和1970年代初期,被北美和蘇聯的研究者於同一時期分別建立起來的。在1971年的美國,史蒂芬·库克發表了他的論文《定理證明程式的複雜性》[2]於新成立的ACM計算理論研討會英语Symposium on Theory of Computing內。理查德·卡普接續的論文《組合問題之間的可還原性》[1]則藉由提出了二十一個NP-完全問題的列表,讓庫克之前的論文重新受到了注意。庫克和卡普因為這個成就得到了圖靈獎

西奧多·P·貝克(Theodore P. Baker)、約翰·吉爾(John Gill)和羅伯特·M·索洛維英语Robert M. Solovay於1975年證明了使用諭示機模型解決NP-問題需要指數時間,因此對於NP-完備性的興趣又再次被提高。[3]

在蘇聯,德赫蒂亞(M. Dekhtiar)於1969年發表了與貝克、吉爾和索洛維等同的研究。[4]過後利奥尼德·李文英语Leonid Levin的論文《通用搜尋型問題》[5]翻譯過後出版於1973年。不過在更早的幾年之前,這論文的內容就有在演講中提到並且付印過。

李文的研究與庫克和卡普些微的不同,在於他考慮的議題專注在搜尋型問題。這類問題不僅僅是找到解答存在與否,還必須要輸出解答。他提出了六個NP-完全的搜尋型問題,並且還附加證明了一個能在最佳時間內解決這問題的演算法。

相關資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Karp, Richard M. Reducibility Among Combinatorial Problems. Raymond E. Miller and James W. Thatcher (editors) (编). Complexity of Computer Computations (PDF). New York: Plenum. 1972: 85–103 [2011-07-20]. ISBN 0306307073. (原始内容 (PDF)存档于2011-06-29).  引用错误:带有name属性“Karp”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  2. ^ Cook, Stephen. The complexity of theorem proving procedures. Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1971: 151–158 [2011-07-20]. (原始内容存档于2020-08-06). 
  3. ^ T. P. Baker; J. Gill, R. Solovay. Relativizations of the P = NP question. SIAM Journal on Computing. 1975, 4 (4): 431–442. doi:10.1137/0204037. 
  4. ^ Dekhtiar, M. On the impossibility of eliminating exhaustive search in computing a function relative to its graph. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 1969, 14: 1146–1148.  (俄文)
  5. ^ Levin, Leonid. Universal search problems (俄语:Универсальные задачи перебора, Universal'nye perebornye zadachi). Problems of Information Transmission (俄语:Проблемы передачи информации, Problemy Peredachi Informatsii). 1973, 9 (3): 265–266.  (俄文)Trakhtenbrot, B. A. A survey of Russian approaches to perebor(brute-force searches)algorithms. Annals of the History of Computing. 1984, 6 (4): 384–400. doi:10.1109/MAHC.1984.10036.