微分熵消息理論中的一個概念,是從以離散隨機變數所計算出的夏農熵推廣,以連續型隨機變數計算所得之,微分熵與離散隨機變數所計算出之夏農熵,皆可代表描述一信息所需碼長的下界,然而,微分熵與夏農熵仍存在著某些相異的性質。

定義

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 為一連續型隨機變數,其機率密度函數 ,其中 支撐集 。微分熵 :

 

與夏農熵為類比,計算夏農熵之算式中的 通常以2為底,而微分熵為計算方便,常以 計算後再轉換為 的結果。微分熵與夏農熵最大的不同點在於 可為大於1的數值,此時可能會造成 為負值,而夏農熵 恆不為負。

例如, 均勻分布 

       

  

相關計算

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  之聯合機率密度函數,其條件熵為:

 

又稱KL散度Kullback–Leibler divergence),兩機率密度函數f、g的相對熵定義為:

 

兩連續型隨機變數的聯合機率密度函數為 ,其互信息:

 

廣義而言,我們可以將互信息定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。 可參考連續互信息的量化

性質

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與夏農相對熵性質相同,恆正。

 

  (延森不等式)

 

鏈式法則

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一次觀測所有隨機變數所測得的聯合熵,與個別接收隨機變數後計算的條件熵總和相同,即觀測順序與間隔不影響微分熵。

 

平移

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隨機變數的平移不影響微分熵,因為固定的平移不會增加隨機變數的方差。

 

縮放

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將隨機變數縮放會增加其方差,微分熵亦會隨之增加。

 

上界

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期望值為0,方差為 且值域為 之隨機變數 的微分熵,其上界為常態分佈 的微分熵。

 

估計誤差

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隨機變數 與其估計子 之均方誤差存在下界,當 為常態分佈且 無偏估計子時,等號成立。

 

漸進等分性

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離散隨機變數的夏農熵中,獨立同分布的隨機變數序列,在漸進等分性(Asymptotic equipartition property)之下其機率質量函數 趨近於 

連續型隨機變數之漸進等分性:

 

典型集

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典型集(Typical set)定義如下

 , 

體積

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集合包含於 , ,其體積(Volume) 定義如下:

 

典型集 的體積有以下性質:

1. 

2. 

證明

1.

 

可得:

 

 

 

 

 

2.

當n足夠大時, 

因此:

 

 

 

 

量化

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我們可以將機率密度函數量化後,以夏農熵來計算微分熵。首先將連續隨機變數X以 分為數個區間,根據均值定理 滿足:

 

量化後的隨機變數 :

 

夏農熵為:

 

意即,當  

例子:

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1.

對X做n位元量化 

 

上式表示,若我們想得到n位元精確度,則需要n-3個位元來表示。

2.

對X做n位元量化 

 

上式表示,若我們想得到n位元精確度,需要 個位元來表示。

最大熵

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常態分佈

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隨機變數  值域為 ,方差為  為任意分佈, 為常態分佈,機率密度函數分別為 

 

證明:

 

其中,

 

指數分佈

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隨機變數  值域為 ,期望值為  為任意分佈, 為指數分佈,機率密度函數分別為 

 

證明:

 

其中,

 

參考文獻

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  • Thomas M. Cover, Joy A. Thomas, Elements of Information Theory, 1991 John Wiley & Sons, Inc, 1971. ISBN 0-471-20061-1