拉薩爾不變集原理
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拉薩爾不變集原理(LaSalle's invariance principle)也稱為不變集原理(invariance principle)[1]、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]或克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治动力系统(可能是非線性系統)李雅普诺夫稳定性的判斷準則。
全域穩定性版本
编辑考慮以下方程式的系統
其中 為符合以下條件的變數向量
若可以找到 函数 ,使下式成立
- 針對所有 (半負定)
則任何軌跡中聚點(accumulation point)的集合都在 內, 是其完整軌跡完全在 集合的聯集。
若 函數又有正定的性質,即
- ,針對所有的
而且 除了 for 的平凡軌跡外,未包括其他軌跡,則原點為李雅普诺夫稳定性。
再者,若 是徑向無界(radially unbounded)
- 當 時,
原點為全域漸近穩定。
局部穩定性版本
编辑若
- ,當 時
當 在原點的鄰域 內才成立,且集合
除了 的軌跡外,不包括其他系統的軌跡,則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本,原點有局部的漸近穩定性。
和李雅普诺夫稳定性的關係
编辑例子:有摩擦力的單擺
编辑此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下 :
其中 是單擺的角度,以垂直往下的角度為0度, 是單擺的質量, 是摩擦係數,g是因重力產生的加速度。
因此可以將系統方程式表示如下
利用不變集原理,可以證明一定大小的球體,若初始位置在原點附近 ,可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義 為
即為系統的能量 。 在原點附近,半徑 的開球體內為正定。計算其導數
可觀察到 。若 成立,可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜, 及 只是半負定。不過,以下集合
也就是
除了平凡軌跡x = 0外,不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 , ,則因為 必需小於 ,則 且 。因此,軌跡不會停留在集合 內。
不變集原理的所有條件都滿足,也可以下結論說:所有在原點附近的軌距,當 時,最後都會收斂到原點 。
歷史
编辑此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾(在RIAS)及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基兩人獨立發現,兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文,是西方第一位發表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理 。
相關條目
编辑原始論文
编辑- LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄语).
- Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
教科書
编辑- LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961.
- Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. (原始内容存档于2019-04-30).
- Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. (原始内容存档于2012-06-26).
- Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8.
教材
编辑參考資料
编辑- ^ Lecture notes on nonlinear control (页面存档备份,存于互联网档案馆), University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
- ^ ibid.
- ^ Lecture notes on nonlinear analysis (页面存档备份,存于互联网档案馆), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
- ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.