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最后一位上的单位值

在计算机科学与数值分析中，最后一位上的单位值或称最小精度单位，缩写为ULP，是毗邻的浮点数值之间的距离，也即浮点数在保持指数部分的时候最低有效数字为1所对应的值。ULP用于度量数值计算的精度。[1]

例如：圆周率位于毗邻的双精度浮点数3.1415926535897927与3.1415926535897936之间。

定义

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设底数为b，如果x的指数为E，那么ULP(x) = 机器精度·bE。[2]但在计算机与数值计算的文献中，对ULP，指数与机器精度也可用其它方式定义。如John Harrison给出的定义: ULP(x)是两个最近的跨（straddling）x的浮点数a与b的距离，即a ≤ x ≤ b且a ≠ b，并且在指数无上限的情形。[3][4]这两个定义基本等价。

被所有现代浮点硬件遵从IEEE 754标准要求基本算术运算（1985年起的加法、减法、乘法、除法、求平方根，以及2008年起的“积和熔加运算（FMA）”）的结果近似到最近的浮点数且与数学确切结果的距离在0.5 ULP范围内。这性质意味着近似结果与数学确切结果的距离是最小的（但对于居中情形，有两个毗邻的浮点数都满足上述要求）。有美誉的数值库（numeric library）计算基本超越函数的误差在0.5至大约1 ULP间。仅有少数库在计算超越函数时的误差小于0.5 ULP，这一问题相当复杂，归因于Table-Maker's Dilemma（英语：Table-maker's dilemma）。[5]

例子

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找到最接近圆周率的双精度浮点数： 

#include <cmath> 
#include <cstdio> 
#define PI 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230 

int main() 
{
    printf("%.17g (%a)\n", PI, PI); 
    printf("%.17g (%a)\n", std::nextafter(PI, 0.0), std::nextafter(PI, 0.0)); 
    printf("%.17g (%a)\n", std::nextafter(PI, 4.0), std::nextafter(PI, 4.0)); 
}
/* Output:
3.1415926535897931 (0x1.921fb54442d18p+1)
3.1415926535897927 (0x1.921fb54442d17p+1)
3.1415926535897936 (0x1.921fb54442d19p+1)
*/

设x用IEEE 754表示时四舍五入且舍入到偶数的操作记为RN。如果ULP(x)的值小于等于1，那么RN(x + 1) > x；否则，RN(x + 1) = x或RN(x + 1) = x + ULP(x)，取决于最低有效位（least significant digit）与x的指数部分。下面的Python程序展示了这个例子： 

>>> x = 1.0
>>> p = 0
>>> while x != x + 1:
...   x = x * 2
...   p = p + 1
... 
>>> x
9007199254740992.0
>>> p
53
>>> x + 2 + 1
9007199254740996.0

这个例子中，从x = 1开始，反复地翻倍直至x = x + 1。结果是253，因为双精度浮点数格式使用了53位有效数字，从而ulp(253)=253*2-52=2 > 1 。即，在这里双精度浮点数可表示的最小精度间隔已经是2了。

语言支持

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从Java 1.5, Java语言的标准库包含了函数： Math.ulp(double)与 Math.ulp(float)。

C语言标准库从C99开始提供了计算给定方向的下一个浮点数的函数： nextafterf与nexttowardf用于float, nextafter与nexttoward用于double, nextafterl与nexttowardl用于long double, 都在<math.h>中声明。[6]

Boost C++ Libraries提供了boost::math::float_next, boost::math::float_prior, boost::math::nextafter与boost::math::float_advance等函数获取邻近的浮点数。 [7]。boost::math::float_distance(a, b)计算两个double值之间的浮点距离。 [8]

参见

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参考文献

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  1. ^ David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, section 1.2 Relative Error and Ulps, ACM Computing Surveys, Vol 23, No 1, pp.8, March 1991.
  2. ^ Higham, Nicholas. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2 ed). SIAM. 2002. 
  3. ^ Harrison, John. A Machine-Checked Theory of Floating Point Arithmetic. [2013-07-17]. （原始内容存档于2021-02-24）. 
  4. ^ Muller, Jean-Michel (2005-11). "On the definition of ulp(x)". INRIA Technical Report 5504. ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. V, No. N, November 2005. Retrieved in 2012-03 from http://ljk.imag.fr/membres/Carine.Lucas/TPScilab/JMMuller/ulp-toms.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
  5. ^ Kahan, William. A Logarithm Too Clever by Half. [2008-11-14]. （原始内容存档于2015-07-27）. 
  6. ^ ISO/IEC 9899:1999 specification (PDF). . p. 237, §7.12.11.3 The nextafter functions and §7.12.11.4 The nexttoward functions [2016-04-08]. （原始内容存档 (PDF)于2018-01-11）. 
  7. ^ Boost float_advance. 
  8. ^ Boost float_distance. 
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