聯合譜半徑
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聯合譜半徑(joint spectral radius)為一數學名詞,是將傳統上針對矩陣的谱半径表示法,擴展到矩陣集合的表示法。近年來此表示法已應用在許多工程領域中,也是目前研究的熱門主題。
概述
编辑矩陣集合的聯合譜半徑是在集合中矩陣乘積的最大漸近成長率。針對有限集合(或是更廣義的緊湊集合) ,其聯合譜半徑定義如下:
可以證明其極限存在,而且其數值不會隨所選擇的矩陣範數種類而改變(這對任何矩陣範數都成立,不過若矩陣範數有次可乘性sub-multiplicative,更容易證明)。聯合譜半徑的概念是在1960年由麻省理工学院的兩位數學家吉安-卡洛·羅塔及威廉·吉爾伯特·斯特朗發明[1],不過在英格丽·多贝西及傑佛瑞·拉加里亞斯的研究後,才開始受到注意[2],他們證明了聯合譜半徑可以用來描述特定小波函數的光滑性[3]。之後就提出了許多相關的應用。目前已知聯合譜半徑的量值求值,不論是要計算或只是近似,在運算複雜度上都是NP困难,就算集合 中只有二個矩陣,其中所有非零元素都相同也是一樣[4]。而且, 這個問題是不可判定问题[5]。不過,近年來已對此問題有多一些的瞭解,似乎在實務上,可以計算聯合譜半徑到令人滿意的精度,而且對於一些工程及數學問題,可以有一些有趣的洞察。
計算
编辑近似演算法
编辑雖然在聯合譜半徑的可計算性理論上有一些負面的結果,不過已有提出一些在實務上可以良好運作的方法。目前已找到演算法,可以達到任意的精度,所需要的時間也是事先可以計算得知。這類的演算法可以視為是近似向量範數(稱為極值範數extremal norm)中的單位球[6]。一般會將演算法分為兩類:第一類是多義範數法(polytope norm method),透過計算點的長軌跡來建構極值範數[7][8],此方法的好處是在最理想的情形下,此方法可以找到聯合譜半徑的精確值,而且可以證明這個值就是正確值。
第二種方式是用「近代最佳化技巧」(modern optimization techniques)來近似極值範數,例如橢圓範數近似(ellipsoid norm approximation)[9]、半正定规划[10][11]、多項式平方和[12]、圓錐規劃[13]。這些方法的好處是容易實現,而且實務上此方式所產生的聯合譜半徑,一般來說是在最理想的範圍內。
有限性猜想
编辑有關聯合譜半徑的可計算性,存在以下的猜想[14]:
「針對任何有限個的矩陣集合 ,存在一個矩陣乘積 使得
- 」
上式中的「 」是指矩陣 在傳統意義下的谱半径。
此猜想在1995年提出,在2003年證否[15]。在參考資料中的反例用到了進階的量度理論(measure-theoretical)概念。之後,也找到了許多的反例,包括只用到簡單組合數學性質的矩陣[16]以及另一個用到動態系統概念的反例[17]。近來也提出了一顯式的反例[18]。許多相關的問題還沒有證明,例如對於成對的邏輯矩陣,此猜想是否成立[19][20]。
應用
编辑聯合譜半徑的出現,是為了作為離散時間切換动力系统的穩定性條件。而以下方程定義的系統
為李雅普诺夫稳定性若而唯若 。
因為英格丽·多贝西及傑佛瑞·拉加里亞斯將聯合譜半徑應用在小波函數的連續性上,因此聯合譜半徑受到許多人的注意。之後的應用包括有數論、信息理論、自治代理共識、字的組合數學等。
相關的表示法
编辑聯合譜半徑是將一個矩陣的谱半径擴展到矩陣集合。不過也有其他可以適用於多個矩陣的量化表示法:
- 聯合譜次幅(joint spectral subradius)表示由 產生的半群最小成長速率乘積。
- p-半徑(p-radius)表示此半群內乘積範數之 平均的成長速率。
- 矩陣集合的李亞普諾夫指數(Lyapunov exponent)表示其幾何平均的成長速率。
參考資料
编辑- ^ G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [1]
- ^ Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.
- ^ I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.
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- ^ R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.
延伸閱讀
编辑- Raphael M. Jungers. The joint spectral radius, Theory and applications. Springer. 2009. ISBN 978-3-540-95979-3.
- Vincent D. Blondel; Michael Karow; Vladimir Protassov; Fabian R. Wirth (编). Linear Algebra and its Applications: special issue on the joint spectral radius 428. Elsevier. 2008.
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被忽略 (帮助);|issue=
被忽略 (帮助)
- Antonio Cicone. PhD thesis. Spectral Properties of Families of Matrices. Part III (PDF). 2011 [2020-01-28]. (原始内容 (PDF)存档于2012-03-31).
- Jacques Theys. PhD thesis. Joint Spectral Radius: Theory and approximations. (PDF). 2005 [2020-01-28]. (原始内容 (PDF)存档于2007-06-13).