對原始信號進行一些調整(例如:乘上一個chirp function、將t進行變數變換為at)，會使得訊號在時頻平面(t-f平面)的圖形產生移動、縮放、變形。
時頻平面(t-f平面)上訊號的各種變形，皆有其對應的物理意義。常見的時頻分布的變形有下列幾種：水平平移、鉛直平移、擴張、斜推、旋轉。 時頻分布的變形在分離信號、濾波器設計 、取樣定理 、調變 及多工 …等領域上都有相當的幫助，也有助於提升信噪比(SNR)。
即將頻譜圖進行平移，又分為沿著時間軸和沿著頻率軸的移動
將訊號中的t做變數變換，加上或是減去一個常數
t
0
{\displaystyle t_{0}}
沿著時間軸移動時，時頻圖的值會多一個相位，但並不影響數值大小。
x
(
t
−
t
0
)
⟶
S
x
(
t
−
t
0
,
f
)
{\displaystyle x(t-t_{0})\longrightarrow S_{x}(t-t_{0},f)}
韋格納分布：
x
(
t
−
t
0
)
⟶
W
x
(
t
−
t
0
,
f
)
{\displaystyle x(t-t_{0})\longrightarrow W_{x}(t-t_{0},f)}
0 時間單位後得到的信號為y，則x與y的時頻分布關係為：
W
y
(
t
,
f
)
=
W
x
(
t
−
t
0
,
f
)
{\displaystyle W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t-t_{0},\,f)}
其中，
若
t
0
>
0
{\displaystyle t_{0}>0}
t
0
<
0
{\displaystyle t_{0}<0}
WDF of shifting(1) 若給定
x
(
t
)
=
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3}
y
(
t
)
=
e
j
2
π
(
t
−
t
0
)
1
5
+
j
3
(
t
−
t
0
)
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle y(t)=e^{j2\pi (t-t_{0})^{\frac {1}{5}}+j3(t-t_{0})},-3\leq t\leq 3}
我們以
t
0
=
4
{\displaystyle t_{0}=4}
將訊號中乘以一個相位項
e
j
2
π
f
0
t
{\displaystyle e^{j2\pi f_{0}t}}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
沿著頻率軸移動時，訊號會多一個相位，並不影響數值大小。
e
j
2
π
f
0
t
x
(
t
)
⟶
S
x
(
t
,
f
−
f
0
)
{\displaystyle e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\longrightarrow S_{x}(t,f-f_{0})}
韋格納分布：
e
j
2
π
f
0
t
x
(
t
)
⟶
W
x
(
t
,
f
−
f
0
)
{\displaystyle e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\longrightarrow W_{x}(t,f-f_{0})}
若一個信號x經過鉛直平移f0 頻率單位後得到y，則x與y的時頻分布關係為：
W
y
(
t
,
f
)
=
W
x
(
t
,
f
−
f
0
)
{\displaystyle W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t,\,f-f_{0})}
其中，
若
f
0
>
0
{\displaystyle f_{0}>0}
f
0
<
0
{\displaystyle f_{0}<0}
WDF of shifting(2) 若給定
x
(
t
)
=
e
j
2
π
f
0
t
1
5
+
j
3
t
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi f_{0}t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3}
y
(
t
)
=
e
j
2
π
f
0
t
e
j
2
π
f
0
t
1
5
+
j
3
t
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle y(t)=e^{j2\pi f_{0}t}e^{j2\pi f_{0}t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3}
我們以
f
0
=
2
{\displaystyle f_{0}=2}
將訊號中的t做變數變換成
t
a
{\displaystyle {\frac {t}{a}}}
若我們單純只做變數變換，除了影響時頻分布的形狀以外，也會影響數值大小，因此需要再乘上一個
1
|
a
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|a|}}}}
1
|
a
|
x
(
t
a
)
⟶
S
x
(
t
a
,
a
f
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow S_{x}({\frac {t}{a}},af)}
韋格納分布：
1
|
a
|
x
(
t
a
)
⟶
W
x
(
t
a
,
a
f
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow W_{x}({\frac {t}{a}},af)}
若一個信號x經過a倍的擴張變形，得到的結果為y，得x與y的時頻分布關係為：
W
y
(
t
,
f
)
=
W
x
(
t
a
,
a
f
)
{\displaystyle W_{y}(t,\,f)=W_{x}\left({\frac {t}{a}},\,af\right)}
其中，
若
a
>
1
{\displaystyle a>1}
若
a
<
1
{\displaystyle a<1}
不會 改變時頻分布圖形的面積。
WDF of scaling(1) 若給定
x
(
t
)
=
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3}
y
(
t
)
=
e
j
2
π
t
a
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
a
,
−
3
≤
t
≤
3
{\displaystyle y(t)=e^{j2\pi {\frac {t}{a}}}e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}},-3\leq t\leq 3}
WDF of scaling(2) 這邊給定a =0.5，可以看到圖形在水平軸上被壓縮，在垂直則被拉伸。
將時頻圖沿著時間軸或頻率軸做線性位移。
將信號與chirp函數做摺積 運算，將沿著時間軸方向做斜推變形，造成的影響是：時間軸方向的位移量與頻率大小成正比。
反之，將信號與chirp函數相乘，將沿著頻率軸方向做斜推變形，則會使頻率軸方向的位移量與時間大小成正比。
和線性調頻 做卷積 會產生時間軸的線性位移。
x
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
∗
y
(
t
)
⟶
S
x
(
t
,
f
)
=
S
y
(
t
−
a
f
,
f
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}*y(t)\longrightarrow S_{x}(t,f)=S_{y}(t-af,f)}
韋格納分布：
x
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
∗
y
(
t
)
⟶
W
x
(
t
,
f
)
=
W
y
(
t
−
a
f
,
f
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}*y(t)\longrightarrow W_{x}(t,f)=W_{y}(t-af,f)}
其中，
若
a
>
0
{\displaystyle a>0}
若
a
<
0
{\displaystyle a<0}
不會 改變時頻分布圖形的面積。
Wigner of shearing(3) 若給定
x
(
t
)
=
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4}
y
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
∗
(
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
a
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
a
)
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle y(t)=e^{j\pi at^{2}}*(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4}
Wigner of shearing(4) 這邊給定a =-0.5，可以看到圖形的推移輛是呈現正比關係的，可以與a>0的情形作比較。
乘以線性調頻 會產生頻率的線性軸位移。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：
x
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
y
(
t
)
⟶
S
x
(
t
,
f
)
=
S
y
(
t
,
f
−
a
t
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow S_{x}(t,f)=S_{y}(t,f-at)}
韋格納分布：
x
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
y
(
t
)
⟶
W
x
(
t
,
f
)
=
W
y
(
t
,
f
−
a
t
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow W_{x}(t,f)=W_{y}(t,f-at)}
證明:
x
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
y
(
t
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)}
W
x
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
+
τ
/
2
)
x
∗
(
t
−
τ
/
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
d
τ
{\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau }
=
∫
−
∞
∞
e
j
2
π
a
(
t
+
τ
/
2
)
2
e
−
j
2
π
a
(
t
+
τ
/
2
)
2
d
τ
y
(
t
+
τ
/
2
)
y
∗
(
t
−
τ
/
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
d
τ
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi a(t+\tau /2)^{2}}e^{-j2\pi a(t+\tau /2)^{2}}d\tau y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau }
=
∫
−
∞
∞
e
j
2
π
a
t
τ
y
(
t
+
τ
/
2
)
y
∗
(
t
−
τ
/
2
)
e
−
j
2
π
τ
f
d
τ
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi at\tau }y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau }
=
∫
−
∞
∞
y
(
t
+
τ
/
2
)
y
∗
(
t
−
τ
/
2
)
e
−
j
2
π
τ
(
f
−
a
t
)
d
τ
=
W
y
(
t
,
f
−
a
t
)
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau (f-at)}d\tau =W_{y}(t,f-at)}
其中，
若
a
>
0
{\displaystyle a>0}
若
a
<
0
{\displaystyle a<0}
不會 改變時頻分布圖形的面積。
Wigner of shearing(1) 若給定
x
(
t
)
=
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4}
y
(
t
)
=
e
j
π
a
t
2
(
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
a
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
a
)
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle y(t)=e^{j\pi at^{2}}(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4}
Wigner of shearing(2) 這邊給定a =-0.5，可以看到圖形的推移量是呈現正比關係的，可以與a>0的情形作比較。
编辑
若有一已知的頻率為線性變化的信號
x
(
t
)
=
e
j
ϕ
(
t
)
y
(
t
)
{\displaystyle x(t)=e^{j\phi (t)}y(t)}
ϕ
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
t
k
{\displaystyle \phi (t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}}
f
r
e
q
u
e
n
c
y
=
1
2
π
d
ϕ
(
t
)
d
t
{\displaystyle frequency={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}}
要將其攤平成一個水平且整齊的信號，則可做以下修剪。
S
x
(
t
,
f
)
≅
S
y
(
t
,
f
−
∑
k
=
1
n
k
a
k
t
k
−
1
2
π
)
{\displaystyle S_{x}(t,f)\cong S_{y}(t,f-\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {ka_{k}t^{k-1}}{2\pi }})}
韋格納分布：
W
x
(
t
,
f
)
≅
W
y
(
t
,
f
−
∑
k
=
1
n
k
a
k
t
k
−
1
2
π
)
{\displaystyle W_{x}(t,f)\cong W_{y}(t,f-\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {ka_{k}t^{k-1}}{2\pi }})}
也就是說我們可以透過廣義修剪來任意改變時頻分布的形狀。
WDF of G shearing
x
(
t
)
=
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4}
y
(
t
)
=
e
−
j
ϕ
(
t
)
(
e
j
2
π
t
1
5
+
j
3
t
a
+
e
j
2
π
t
1
5
+
j
5
t
a
)
,
−
4
≤
t
≤
4
{\displaystyle y(t)=e^{-j\phi (t)}(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4}
其中
ϕ
(
t
)
=
0.1
t
3
{\displaystyle \phi (t)=0.1t^{3}}
我們給定了一個三次函數，而它的微分是二次函數，我們可以看到圖中的形狀變為2次函數的形狀。 旋轉變形顧名思義就是把圖形以原點為中心做旋轉。對信號做傅立葉變換會將圖形順時針方向 旋轉90度，
而做傅利葉反變換會將圖形逆時鐘旋轉90度。
而分數傅立葉變換 可將圖形旋轉任意的角度。
分數傅立葉轉換可以視為傅立葉轉換的推廣形式，公式如下:
定義1:
X
ϕ
(
u
)
=
1
−
j
c
o
t
ϕ
⋅
e
j
π
⋅
c
o
t
ϕ
⋅
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
j
2
π
⋅
c
s
c
ϕ
⋅
u
t
e
j
π
⋅
c
o
t
ϕ
⋅
t
2
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt}
定義2:
X
ϕ
(
u
)
=
1
−
j
c
o
t
ϕ
2
π
⋅
e
j
c
o
t
ϕ
2
⋅
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
j
c
s
c
ϕ
⋅
u
t
e
j
c
o
t
ϕ
2
⋅
t
2
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt}
若
ϕ
=
0.5
π
{\displaystyle \phi =0.5\pi }
X
(
f
)
=
F
T
(
x
(
t
)
)
{\displaystyle X(f)=FT(x(t))}
短時距傅立葉變換：
|
S
X
(
t
,
f
)
|
≈
|
S
x
(
−
f
,
t
)
|
{\displaystyle |S_{X}(t,f)|\approx |S_{x}(-f,t)|}
加伯轉換：
G
X
(
t
,
f
)
=
G
x
(
−
f
,
t
)
e
−
j
2
π
f
t
{\displaystyle G_{X}(t,f)=G_{x}(-f,t)e^{-j2\pi ft}}
韋格納分布：
W
X
(
t
,
f
)
=
W
x
(
−
f
,
t
)
{\displaystyle W_{X}(t,f)=W_{x}(-f,t)}
利用線性正則變換 (LCT)可以把時頻分布做任意的線性變形
線性正則變換有四個參數(a, b, c, d)。
其中，矩陣
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
F
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
u
)
=
1
j
2
π
b
⋅
e
j
2
d
b
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
j
b
u
t
e
−
j
2
a
b
t
2
f
(
t
)
⋅
d
t
{\displaystyle F_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {\frac {1}{j2\pi b}}}\cdot e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {j}{b}}ut}e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {a}{b}}t^{2}}f(t)\cdot \,dt}
若b=0則可以化簡成:
F
(
a
,
0
,
c
,
d
)
(
u
)
=
d
⋅
e
−
j
2
c
d
⋅
u
2
f
(
d
u
)
{\displaystyle F_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{-{\frac {j}{2}}cd\cdot u^{2}}f(d\,u)}
線性正則變換可以說是各種線性轉換的一般化，因此上面提到的許多變形，也可以視為線性正則變換當中的特例:
1.
[
a
b
c
d
]
=
[
1
/
σ
0
0
σ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}}
2.
[
a
b
c
d
]
=
[
cos
ϕ
sin
ϕ
−
sin
ϕ
cos
ϕ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}}
3.
[
a
b
c
d
]
=
[
1
0
τ
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}}
4.
[
a
b
c
d
]
=
[
1
λ
z
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}}
除了上述幾個特殊的例子以外，若我們希望將時頻分布圖形轉換成其他指定形狀，我們可以利用矩陣運算的方式求出
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
Example of Linear Canonical Transform 以上圖為例:
欲將左圖的時頻分布圖形轉換成右圖，左圖為
W
x
(
u
,
v
)
{\displaystyle W_{x}(u,v)}
W
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
u
,
v
)
{\displaystyle W_{(a,b,c,d)}(u,v)}
W
x
(
a
u
+
b
v
,
c
u
+
d
v
)
{\displaystyle W_{x}(au+bv,cu+dv)}
我們將對應的點帶入:
W
x
(
−
1
,
2
)
=
W
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
0
,
1
)
{\displaystyle W_{x}(-1,2)=W_{(a,b,c,d)}(0,1)}
−
a
+
2
b
=
0
{\displaystyle -a+2b=0}
−
c
+
2
d
=
1
{\displaystyle -c+2d=1}
W
x
(
1
,
2
)
=
W
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
4
,
3
)
{\displaystyle W_{x}(1,2)=W_{(a,b,c,d)}(4,3)}
a
+
2
b
=
4
{\displaystyle a+2b=4}
c
+
2
d
=
3
{\displaystyle c+2d=3}
透過解兩組二元一次聯立方程式，即可得到:
[
a
b
c
d
]
=
[
2
1
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}}
在LCT的轉換當中，面積是不會 改變的!
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