雅可比符号
在数论中,雅可比符号是勒让德符号的一种推广,首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进[1]。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用,尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。
定义
编辑如果p整除a; 如果存在整数 使得 且p不整除a 如果不存在整数 使得
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- ;
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当 时,稱 是模 的二次剩餘;当 时,稱 是模 的二次非剩餘。
运用勒让德符号计算时要将 分解成标准形式,计算上十分麻烦,因此产生了雅可比符号:
设 是一个正奇数,其质因数分解式为 ,并且正整数 满足 那么定义 。
参见
编辑- 克罗内克符号,将雅可比符号推广到任意自然数上。
注释
编辑- ^ C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136
参考来源
编辑- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1996, ISBN 9780262024051
- Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 9783540669579
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549
外部链接
编辑- Calculate Jacobi symbol gives a display like the ones in the examples.