高斯-马尔可夫定理

統計學定理

高斯-馬可夫定理(英語:Gauss-Markov Theorem),在統計學中陳述的是在线性回归模型中,如果线性模型满足高斯马尔可夫假定,则回归系数的“最佳线性无偏估计”(BLUE,英語:Best Linear unbiased estimator)就是普通最小二乘法估计[1]最佳估计是指相较于其他估计量有更小方差估计量,同时把对估计量的寻找限制在所有可能的线性无偏估计量中。此外,误差也不一定需要满足独立同分布正态分布

本定理主要以卡爾·弗里德里希·高斯安德烈·马尔可夫命名,虽然高斯的贡献要远比马尔可夫的重要。高斯以独立正态分布的假设推导出了结果,而马尔可夫将假设放宽到了上述的形式。

表述

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简单(一元)线性回归模型

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对于简单(一元)线性回归模型,

 

其中  非随机但不能观测到的参数, 非随机且可观测到的一般变量, 不可观测的随机变量,或称为随机误差或噪音, 可观测的随机变量。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  • 在总体模型中,各变量关系为 (线性于参数)
  • 我们具有服从于上述模型的随机样本,样本容量为n(随机抽样),
  • x的样本结果为非完全相同的数值(解释变量的样本有波动),
  • 对于给定的解释变量,误差的期望为零,换言之  (零条件均值),
  • 对于给定的解释变量,误差具有相同的方差,换言之  (同方差性)。

则对  的最佳线性无偏估计为,

 

多元线性回归模型

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对于多元线性回归模型,

 ,  

使用矩阵形式,线性回归模型可简化记为 ,其中采用了以下记号:

  (观测值向量,Vector of Responses),

  (设计矩阵,Design Matrix),

  (参数向量,Vector of Parameters),

  (随机误差向量,Vectors of Error)。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  •   (零均值),
  •  ,(同方差且不相关),其中 为n阶单位矩阵(Identity Matrix)。

则对 的最佳线性无偏估计为

 

证明

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首先,注意的是这里数据是 而非 ,我们希望找到 对于 的线性估计量,记作

 

其中    分别是    矩阵。

根据零均值假设所得,

 

其次,我们同时限制寻找的估计量为无偏的估计量,即要求 ,因此有

 零矩阵), 

参见

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参考资料

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  1. ^ Theil, Henri. Best Linear Unbiased Estimation and Prediction. Principles of Econometrics . New York: John Wiley & Sons. 1971: 119–124. ISBN 0-471-85845-5. 

外部連結

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