Β-二项式分布,或称贝塔-二项式分布,是概率论与统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处,在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率,但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为过度散布的二项式分布,Β-二项式分布在贝叶斯统计、经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。
Β-二项式分布
概率质量函数 |
累积分布函数 |
参数 |
n ∈ N0 —试验次数 (实数) (实数) |
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值域 |
k ∈ { 0, …, n } |
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概率质量函数 |
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累积分布函数 |
,其中 3F2(a,b,k)=3F2(1,α+k+1, -n+k+1,k+2, -β-n+k
+2,1) 是广义超几何分布 |
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期望 |
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方差 |
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偏度 |
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矩生成函数 |
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特征函数 |
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当试验次数 n = 1 的时候,Β-二项式分布退化为伯努利分布,而在α = β = 1 的时候,Β-二项式分布则退化为取值从0 到 n 的离散型均匀分布。当 α 和 β 足够大的时候,它能够任意逼近二项式分布。Β-二项式分布也是多变量波利亚分布在一元时的情况,正如二项式分布和Β分布分别是多项分布和狄利克雷分布在一元时的情况一样。
Β-二项式分布的前三个矩分别是:
-
而峰度则是:
-
设 那么数学期望可以表示成
-
而方差则是:
-
其中 是 n 个伯努利变量的关联系数,称为散布系数。