σ-代数

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数学中,某个集合 X 上的 σ-代数(英语:σ-algebra)又叫 σ-域(英语:σ-field),是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性(因此对于可数个交集运算也是封闭的)。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

动机

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σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。

测度

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测度是给 的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集

定义

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定义 — 
  为一集合,假设有子集族    代表  幂集)满足下列条件[1][2]

  1.  
  2.  
  3.  

则称    的一个 σ-代数

注意到定义第3条的 ,意思是  自然数系   等势,直观的意思就是   里的元素跟自然数一样多。

以上定义的直观意义为:一群  子集合所组成的集合   ,为   上的一个 σ-代数意思是满足:

  •   本身就是   的元素;
  • 如果集合    中,那么它的补集   也在 中;
  • 如果有可数个集合   都在   中,那么它们的并集也在  中。

测度论有序对   会被称为一个可测空间。而任何在   中的子集  ,则称为可测集合(measurable set);而在概率论中,   被称为事件族(family of events),   中的子集   则称为事件

例子

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  •  上最小的σ-代数是 
  •  上最大的σ-代数是 幂集 (也就是所有  子集合所组成的集合)

最小σ-代数

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定理 — 
   的一个子集族,则:

 

也是  的σ代数。

证明
根据   的定义(严谨来说,依据分类公理所新增的公理),对所有集合   有:
  (a)

以下将逐条检验σ代数的定义,来验证   的确是   的σ代数:

(1)  

对所有的集合族   来说,只要   是σ代数,按照定义理当有   ,所以由式(a)的右方的确可以得出  

(2)若   ,则   也在  

  ,那根据式(a),对所有的集合族   来说,只要   是σ代数 且 ,理当有  ,所以对所有   只要满足这两个条件,理当有  ,所以由式(a)的右方的确有:

 

(3)可数个并集也在  

  ,由式(a),只要   满足(a)左方的两个条件,就有   ,所以:

 

所以再从(a)右方,就可以得到:

 

综上所述,   的确是   的σ代数。 

根据以上的定理,可以做以下的定义:

定义 — 
   的一个子集族,则:

 

称为包含  最小σ-代数

例子

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  • 设集合 ,那么  是集合 上含有   的σ-代数中最“小”的一个。


性质

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σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集并集差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。

参考来源

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  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页