σ-代數
在數學中,某個集合 X 上的 σ-代數(英語:σ-algebra)又叫 σ-域(英語:σ-field),是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。這個子集族對於補集運算和可數個併集運算具有封閉性(因此對於可數個交集運算也是封閉的)。σ-代數在測度論裏可以用來定義所謂的「可測集合」,是測度論的基礎概念之一。
σ-代數的概念大約起始於1900~1930年,它隨着測度論的發展而逐漸清晰。最著名的 σ-代數是關於實數軸測度的波萊爾σ-代數(得名於法國數學家埃米·波萊爾),以及1901年亨利·勒貝格建立的勒貝格σ-代數。而現代的測度理論的公理化體系就建立在勒貝格的相關理論之上。在這個領域中,σ-代數不僅僅是用於建立公理體系,也是一個強有力的工具,在定義許多重要的概念如條件期望值和鞅的時候,都需要用到。
動機
編輯σ-代數的提出有至少三個作用:定義測度,操作集合的極限,以及管理集合所表示的部分資訊。
測度
編輯測度是給 的子集賦予非負實數值的函數;可以把測度想成給集合的一個精確的「大小」或「體積」的定義。直覺上來講,若干個互不相交集合的併集的大小應當等於它們各自的大小之和,即使有無窮多個這樣的不交集。
定義
編輯注意到定義第3條的 ,意思是 和自然數系 等勢,直觀的意思就是 裏的元素跟自然數一樣多。
以上定義的直觀意義為:一群 的子集合所組成的集合 ,為 上的一個 σ-代數意思是滿足:
在測度論裏有序對 會被稱為一個可測空間。而任何在 中的子集 ,則稱為可測集合(measurable set);而在概率論中, 被稱為事件族(family of events), 中的子集 則稱為事件。
例子
編輯最小σ-代數
編輯證明 |
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根據 的定義(嚴謹來說,依據分類公理所新增的公理),對所有集合 有:
以下將逐條檢驗σ代數的定義,來驗證 的確是 的σ代數: (1) 對所有的集族 來說,只要 是σ代數,按照定義理當有 ,所以由式(a)的右方的確可以得出 。 (2)若 ,則 也在 中 若 ,那根據式(a),對所有的集族 來說,只要 是σ代數 且 ,理當有 ,所以對所有 只要滿足這兩個條件,理當有 ,所以由式(a)的右方的確有: (3)可數個併集也在 中 若 ,由式(a),只要 滿足(a)左方的兩個條件,就有 ,所以: 所以再從(a)右方,就可以得到: 綜上所述, 的確是 的σ代數。 |
根據以上的定理,可以做以下的定義:
例子
編輯- 設集合 ,那麼 是集合 上含有 的σ-代數中最「小」的一個。
性質
編輯參考來源
編輯- ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950.,第28頁
- ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.,第45-46頁