双射
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数学中,一个由集合映射至集合的函数,若对每一在内的,存在唯一一个在内的与其对应,且对每一在内的,存在唯一一个在内的与其对应,则此函数为双射函数。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Bijection.svg/200px-Bijection.svg.png)
换句话说,如果其为两集合间的一一对应,则是双射的。即,同时为单射和满射。
例如,由整数集合至的函数,其将每一个整数连结至整数,这是一个双射函数;再看一个例子,函数,其将每一对实数连结至,这也是个双射函数。
一双射函数亦简称为双射(英语:bijection)或置换。后者一般较常使用在时。以由至的所有双射组成的集合标记为。
双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色,如在同构的定义(以及如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。
复合函数与反函数
编辑一函数 为双射的当且仅当其逆关系 也是个函数。在这情况, 也会是双射函数。
两个双射函数 及 的复合函数 亦为双射函数。其反函数为 。
另一方面,若 为双射的,可知 是单射的且 是满射的,但也仅限于此。
一由 至 的关系 为双射函数当且仅当存在另一由 至 的关系 ,使得 为 上的恒等函数,且 为 上的恒等函数。必然地,此两个集合会有相同的势。
双射与势
编辑若 和 为有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。
例子与反例
编辑性质
编辑- 一由实数 至 的函数 是双射的,当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
- 设 为一集合,则由 至其本身的双射函数,加上其复合函数“ ”的运算,会形成一个群,即为 的对称群,其标记为 、 或 。
- 取一定义域的子集 及一陪域的子集 ,则
- 且 。
- 为一双射函数。
- 为一满射函数。
- 为一单射函数。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如 )。
双射与范畴论
编辑另见
编辑参考文献
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外部链接
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