双射

數學中，一個由集合 $X$ 映射至集合 $Y$ 的函數，若對每一在 $Y$ 內的 $y$ ，存在唯一一個在 $X$ 內的 $x$ 与其对应，且對每一在 $X$ 內的 $x$ ，存在唯一一個在 $Y$ 內的 $y$ 与其对应，則此函數為對射函數。

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则 $f$ 是雙射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合 $\mathbb {Z}$ 至 $\mathbb {Z}$ 的函數 $\operatorname {succ}$ ，其將每一個整數 $x$ 連結至整數 $\operatorname {succ} (x)=x+1$ ，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數 $\operatorname {sumdif}$ ，其將每一對實數 $(x,y)$ 連結至 $\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$ ，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在 $X=Y$ 時。以由 $X$ 至 $Y$ 的所有雙射組成的集合標記為 $X\leftrightarrow Y$ 。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數 $f$ 為雙射的若且唯若其逆關係 $f^{-1}$ 也是個函數。在這情況， $f^{-1}$ 也會是雙射函數。

兩個雙射函數 $f:X\leftrightarrow Y$ 及 $g:Y\leftrightarrow Z$ 的複合函數 $g\circ f$ 亦為雙射函數。其反函數為 $(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$ 。

一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若 $g\circ f$ 為雙射的，可知 $f$ 是單射的且 $g$ 是滿射的，但也僅限於此。

一由 $X$ 至 $Y$ 的關係 $f$ 為雙射函數若且唯若存在另一由 $Y$ 至 $X$ 的關係 $g$ ，使得 $g\circ f$ 為 $X$ 上的恆等函數，且 $f\circ g$ 為 $Y$ 上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若 $X$ 和 $Y$ 為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

對任一集合 $X$ ，其恆等函數為雙射函數。
函數 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，其形式為 $f(x)=2x+1$ ，是雙射的，因為對任一 $y$ ，存在一唯一 $x=(y-1)/2$ 使得 $f(x)=y$ 。
指數函數 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，其形式為 $g(x)=e^{x}$ ，不是雙射的：因為不存在一 $\mathbb {R}$ 內的 $x$ 使得 $g(x)=-1$ ，故 $g$ 非為雙射。但若其陪域改成正實數 $\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$ ，則 $g$ 便是雙射的了；其反函數為自然對數函數 $\ln$ 。
函數 $h$ : $\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$ ，其形式為 $h(x)=x^{2}$ ，不是雙射的：因為 $h(-1)=h(1)=1$ ，故 $h$ 非為雙射。但如果把定義域也改成 $[0,+\infty )$ ，則 $h$ 便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
$\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ 不是雙射函數，因為 $-1,0$ 和 $1$ 都在其定義域裡且都映射至 $0$ 。
$\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ 不是雙射函數，因為 $\pi /3$ 和2 $\pi /3$ 都在其定義域裡且都映射至 ${\sqrt {3}}/2$ 。

性質

一由實數 $\mathbb {R}$ 至 $\mathbb {R}$ 的函數 $f$ 是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
設 $X$ 為一集合，則由 $X$ 至其本身的雙射函數，加上其複合函數「 $\circ$ 」的運算，會形成一個群，即為 $X$ 的對稱群，其標記為 ${\mathfrak {S}}(X)$ 、 ${\mathfrak {S}}_{X}$ 或 $X!$ 。
取一定義域的子集 $A$ 及一陪域的子集 $B$ ，則

|f(A)|=|A|

且

|f^{-1}(B)|=|B|

。

若 $X$ 和 $Y$ 為具相同勢的有限集合，且 $f:X\to Y$ ，則下列三種說法是等價的：

$f$ 為一雙射函數。
$f$ 為一滿射函數。
$f$ 為一單射函數。

一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如 $y=x^{-3}$ ）。

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

參考文獻

Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998.
Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003.
Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006.
Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996.
O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003.
Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House.
Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002.
Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001.
Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005.
Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992.
Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004.
D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000.
Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 1989.
Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000.
Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998.

外部連結

Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld.
Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）