双射
(重定向自一一映射)
数学中,一个由集合映射至集合的函数,若对每一在内的,存在唯一一个在内的与其对应,且对每一在内的,存在唯一一个在内的与其对应,则此函数为双射函数。
换句话说,如果其为两集合间的一一对应,则是双射的。即,同时为单射和满射。
例如,由整数集合至的函数,其将每一个整数连结至整数,这是一个双射函数;再看一个例子,函数,其将每一对实数连结至,这也是个双射函数。
一双射函数亦简称为双射(英语:bijection)或置换。后者一般较常使用在时。以由至的所有双射组成的集合标记为。
双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色,如在同构的定义(以及如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。
复合函数与反函数
编辑一函数 为双射的当且仅当其逆关系 也是个函数。在这情况, 也会是双射函数。
两个双射函数 及 的复合函数 亦为双射函数。其反函数为 。
另一方面,若 为双射的,可知 是单射的且 是满射的,但也仅限于此。
一由 至 的关系 为双射函数当且仅当存在另一由 至 的关系 ,使得 为 上的恒等函数,且 为 上的恒等函数。必然地,此两个集合会有相同的势。
双射与势
编辑若 和 为有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。
例子与反例
编辑性质
编辑- 一由实数 至 的函数 是双射的,当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
- 设 为一集合,则由 至其本身的双射函数,加上其复合函数“ ”的运算,会形成一个群,即为 的对称群,其标记为 、 或 。
- 取一定义域的子集 及一陪域的子集 ,则
- 且 。
- 为一双射函数。
- 为一满射函数。
- 为一单射函数。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如 )。
双射与范畴论
编辑另见
编辑参考文献
编辑- Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998.
- Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003.
- Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006.
- Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996.
- O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003.
- Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House.
- Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002.
- Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001.
- Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005.
- Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992.
- Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
- Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004.
- D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000.
- Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 1989.
- Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
- Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000.
- Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998.
外部链接
编辑维基共享资源中相关的多媒体资源:Bijectivity