三角形数

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：

头30个三角形数是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...（OEIS数列A000217）。

三角数的二倍的平方根取整，是这个三角数的序数。

性质

第n个三角形数的公式是 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ 。
第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。
所有大于3的三角形数都不是质数。
除了0，1，3，21，55以外，三角形数不可能是费波那契数。^{[来源请求]}
开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
三角数的个位数字不可能是2、4、7、9，数字根不可能是2、4、5、7、8。
一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示： $n*(2n+1)$ ；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用 $n*(2n-1)$ 来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：
$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.$

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式 $8T_{n}+1=S_{2n+1}.$

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
同时为三角形数及普洛尼克数的数（不定方程 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的几个为0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[1]^[2]，对应的 $x$ 值分别为0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS数列A053141），对应的 $y$ 值分别为0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS数列A001652）。