二面角
二面角(英语:dihedral angle)是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中,它被定义为一条直线和两个半平面的并集,这条直线是两个半平面的公共边。在高维中,二面角表示两个超平面之间的夹角。[1]
在化学中,二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角,一共涉及四个原子,公共边是一个化学键(两个原子),平面则由另两个原子分别与该化学键构成。
立体几何
编辑一条直线和两个半平面的并集组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
由直线 、半平面 和半平面 组成的二面角,记作:“二面角 ”,也可记作“ ”。
也可在直线 外、半平面 和半平面 内,分别取点 和点 ,将这个二面角记作“二面角 ”。
在 二面角 的棱 上任取一点 ,以点 为垂足,在半平面 和 内分别作射线 和射线 垂直于棱 ,那么射线 和射线 所构成的 叫做二面角的平面角。[2]
在非解析几何方法中,常通过建立二面角的平面角,通过求出平面角的大小,来求出二面角的大小:
为 在平面 中的射影。
是二面角 的平面角。
解析几何
编辑若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为
则它们之间的二面角 为:
另一种方法是计算两个平面的法向量nA和nB之间的夹角:
其中nA • nB是两个向量的点积,|nA| |nB|是两个向量的模的乘积。[3]
任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述;他们的叉积是平面的法向量。因此,二面角可以由三个向量b1、b2和b3定义,形成两对非共线向量:[4]
立体化学
编辑构象名称 | syn-正丁烷 纽曼投影 |
syn-正丁烷 锯木架投影 |
在化学中,扭转角(英语:torsion angle)被定义为二面角的特定例子,描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。[5][6]
在立体化学中,分子中的每三个(非共线)原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时,它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象[7]。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn(s,顺);在±90°和180°之间的为anti(a,反)。类似地,角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal(c,错),而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar(p,叠)。
这两种术语可以组合起来,以定义四个角度范围:0°至±30°为顺叠(sp);30°至90°和-30°至-90°为顺错(sc);90°至150°和-90°至-150°为反错(ac);±150°至180°为反叠(ap)。顺叠构象也被称为顺式(syn-或cis-)构象;反叠构象也被称为反式(anti-或trans-)构象;顺错构象也被称为邻位交叉、间扭(gauche或skew)构象。
例如,对于正丁烷,可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头(上图)所示的syn-构象具有60°的二面角,比180°二面角的anti-构象更不稳定。
对于大分子使用,建议使用符号T,C,G+,G-,A+和A-分别表示ap,sp,+sc,-sc,+ac和-ac。[5]
蛋白质
编辑拉氏图(也称为Ramachandran图或[φ,ψ]图),由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发[8],是一种形象化蛋白质结构中能量(位阻)允许的氨基酸残基的二面角ψ与φ的关系的方式。右图展示了骨架二面角φ和ψ的定义[9](Ramachandran称为φ和φ')。
在蛋白质链中,三个二面角被定义为φ(phi),ψ(psi)和ω(omega),如图所示。肽键的平面性通常使得ω被限制为180°(典型trans情况)或0°(罕见cis情况)。trans和cis异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis异构体主要在Xaa-Pro肽键(其中Xaa是任何氨基酸)中观察到。
侧链二面角倾向于聚集在180°,60°和-60°附近,称为trans,gauche+和gauche-构象。某些侧链二面角的稳定性受到φ和ψ值的影响[10]。例如,当ψ接近-60°时,gauche+旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用[11]。
从二面角转换为链中的笛卡尔坐标
编辑在聚合物特别是蛋白质中,常常用内部坐标来描述主链,也即把二面角和键长按照顺序列表。但是,某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中,一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换,这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程,它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果,但它们的运算速度和数字精度不同。[12][需要非第一手来源]
几何
编辑每个多面体在每条边上都有一个二面角,用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角,其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的,而且两个面相互重叠,这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的,如在镶嵌中。在多面体的凹部,可以存在大于180°的面角,在基础数学二面角的取值范围上有争议目前认为取值为[0,180]。
边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体,4个星型正多面体,两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。
给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面,包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为:[13]
参见
编辑参考资料
编辑- ^ Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace.
- ^ 2.3.2平面与平面垂直的判定. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版. 普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修 A版: 68. ISBN 978-7-107-17706-4.
- ^ Angle Between Two Planes. TutorVista.com. [2018-07-06]. (原始内容存档于2020-10-28). (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141 [2018-07-08]. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. (原始内容存档于2018-02-03). (页面存档备份,存于互联网档案馆)
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- ^ 国际纯化学和应用化学联合会,化学术语概略,第二版。(金皮书)(1997)。在线校正版: (2006–) "Dihedral angle"。doi:10.1351/goldbook.D01730
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