酉矩阵

在线性代数中，酉矩阵（又译作幺正矩阵，英语：unitary matrix）指其共轭转置恰为其逆矩阵的复数方阵，数学描述如下：

（数学定义）$U^{*}U=UU^{*}=I_{n}$，

（推论）$U^{-1}=U^{*}$。

其中 U* 是 U 的共轭转置，I_n 是 n×n 单位矩阵。

酉矩阵是正交矩阵（元素均为实数）在复数的推广。

例子

以下是一个酉矩阵的例子：

$U={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}$。

验证如下：

$U^{*}U={\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

$UU^{*}={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

性质

从定义可知，酉矩阵满足以下性质：

$U^{*}U=UU^{*}=I_{n}$ 。

由此可见，酉矩阵与其共轭转置 U* 矩阵乘法可交换，是正规矩阵。

酉矩阵亦必定可逆，且逆矩阵等于其共轭转置：

$U^{-1}=U^{*}$。

酉矩阵 U 的所有特征值 λ_n ，都是绝对值等于 1 的复数：

$\left|\lambda _{n}\right|=1$ 。

因此，酉矩阵 U 行列式的绝对值也是 1：

$\left|\det(U)\right|=1$ 。

酉矩阵 U 不会改变两个复向量 x 和 y 的点积：

$(U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$。

更一般地说，所有希尔伯特内积也不会改变：

$\langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$。

若 U 及 V 都是酉矩阵，则 UV 也是酉矩阵：

$(UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}$。

若 U 为 n×n 矩阵，则下列条件等价：

1. U 是幺正矩阵
2. U^*是幺正矩阵
3. U 的列向量是在 Cⁿ 上的一组标准正交基
4. U 的行向量是在 Cⁿ 上的一组标准正交基

给定任意的 n ，所有 n 阶幺正矩阵的集合 G 与矩阵乘法“⋅”，都能构成一个群 (G, ⋅ )。

幺正对角化

幺正对角化（又译作幺正對角化，英语：unitary diagonalisation），指把一个矩阵 A 对角化成以下形式：

$A=UDU^{*}$ ，

其中 U 是酉矩阵，D 是对角矩阵。

根据谱定理，一个矩阵 A 可幺正对角化，当且仅当 A 是正规矩阵，即它与其共轭转置 A* 矩阵乘法可交换（A*A = AA*）。

由于酉矩阵本身也是一个正规矩阵，因此酉矩阵 U 也可幺正对角化：

$U=V\Sigma V^{*}\;$，

其中 V 是酉矩阵，Σ 是对角矩阵。

参见

• 共轭转置
• 厄米矩阵
• 矩阵分解
• 酉群
• 幺正算符
• 辛矩阵

参考资料

• Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Peter V. O'Neil（2012）。高等工程数学（第7版）。黄孟槺译。华泰文化总经销，ISBN 978-1-285-10502-4。