逆矩阵
(重定向自逆矩陣)
逆矩阵(inverse matrix),又称乘法反方阵、反矩阵。在线性代数中,给定一个n 阶方阵,若存在一n 阶方阵,使得,其中为n 阶单位矩阵,则称是可逆的,且是的逆矩阵,记作。
只有方阵(n×n 的矩阵)才可能有逆矩阵。若方阵的逆矩阵存在,则称为非奇异方阵或可逆方阵。
与行列式类似,逆矩阵一般用于求解联立方程组。
求法
编辑伴随矩阵法
编辑注意: 中元素的排列特点是 的第 列元素是 的第 行元素的代数余子式。要求得 即为求解 的余因子矩阵的转置矩阵。
初等变换法
编辑如果矩阵 和 互逆,则 。由条件 以及矩阵乘法的定义可知,矩阵 和 都是方阵。再由条件 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为 。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是 方阵,且 换而言之, 与 均为满秩矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。
因为对矩阵 施以初等行变换(初等列变换)就相当于在 的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对 和 施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵 被变为 时, 就被变为 的逆阵 。
性质
编辑广义逆阵
编辑广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E·H·摩尔和罗杰·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。