在数学中，二次变差（英语：Quadratic variation）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。
设
是定义在概率空间
上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做![{\displaystyle [X]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4b700663439c3b9e16662c2382dbb2af8a671b)
，定义为
![{\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89260b3c0959d68ad036ef62e0e2ac1a3c6efc7)
其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数
等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。
更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为
![{\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a9c248df9da317fd0feb7afcbf4cb9bfd5a95)
用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来
![{\displaystyle [X,Y]_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8cad64710be387c5b1cfa046c85ff690a5406)
有限变差过程
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随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。
这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为
，X在t处的跳跃记为
。则二次变差为
![{\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}{(\Delta X_{s})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60faa02f1da6ca58cc0344d6c5ec94a083b2779)
要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，
是X在[0,t]上的变差。
由X的连续性，这在 趋于0时的极限也趋于0。
伊藤过程
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标准布朗运动的二次变差存在，为![{\displaystyle [B]_{t}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26e6b82731e35a71a816fd66c5bb636c799ed4b)
。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}d[B]_{s}}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}ds}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3579e2d3921e430e74a7e3e19938ffee1aa8284c)
其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为
![{\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}{\sigma _{s}^{2}ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f1fcaccdddc0bb1328bd41577ad70cc408b77f)
可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中
![{\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}{X_{s^{-}}dY_{s}}+\int _{0}^{t}{Y_{s^{-}}dX_{s}}+[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec17136927d4d3a2a2f95e7d96260ce61f176cd)
这可用来计算[X,Y]。
上式也可写成随机微分方程的形式：
其中![{\displaystyle dX_{t}dY_{t}=d[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8df1995d71f95eb9690f7f01c13d9a40fa94cb4)
右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值![{\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139f6dee2d74582b0c228dfaa1b22541ba4ce6c9)
，使得![{\displaystyle M^{2}-[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3f404fd6c1d2124c90e5e569df2cc124c1f77)
是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。
平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差
![{\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int _{0}^{t}{H^{2}d[M]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4afd1b555d13254ed4b736683477102e30460d)
只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。
还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为
，对任意实数
![{\displaystyle c_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M_{t}^{*})^{p}\leq C_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedff943edc0aca6f288194219a8b3569f91c53a)
式中
是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。
另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做
，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得
是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。
参考资料
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- Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.
