在數學中，二次變差（英語：Quadratic variation）用於分析隨機過程，例如布朗運動和鞅。二次變差是變差的一種。
設
是定義在概率空間
上的實值隨機過程，時間t取非負實數。其二次變差也是一個隨機過程，記做![{\displaystyle [X]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4b700663439c3b9e16662c2382dbb2af8a671b)
，定義為
![{\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89260b3c0959d68ad036ef62e0e2ac1a3c6efc7)
其中P取遍區間[0,t]所有的劃分，範數
等於P中最長的子區間的長度，極限使用依概率收斂來定義。
更一般地，兩個過程X和Y的協變差（或稱互變差）為
![{\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a9c248df9da317fd0feb7afcbf4cb9bfd5a95)
用極化恆等式可以把協變差用二次變差表示出來
![{\displaystyle [X,Y]_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8cad64710be387c5b1cfa046c85ff690a5406)
隨機過程X如果在任意有限區間上都是有界變差的（以概率1成立），則稱X是有限變差的。這樣的過程非常常見，尤其是包括所有的連續可微函數。對所有的連續有限變差過程，二次變差都存在且等於0。
這個結論可以推廣到不連續的情況。對右連左極的有限變差過程，其二次變差等於間斷點處跳躍值的平方和。具體來說，記X在t處的左極限為
，X在t處的跳躍記為
。則二次變差為
![{\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}{(\Delta X_{s})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60faa02f1da6ca58cc0344d6c5ec94a083b2779)
要證明連續的有限變差過程的二次變差為0，需使用以下不等式，其中P是區間[0,t]的劃分，
是X在[0,t]上的變差。
由X的連續性，這在 趨於0時的極限也趨於0。
標準布朗運動的二次變差存在，為![{\displaystyle [B]_{t}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26e6b82731e35a71a816fd66c5bb636c799ed4b)
。這可以推廣到伊藤過程。根據定義，伊藤過程可以用伊藤積分表示為
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}d[B]_{s}}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}ds}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3579e2d3921e430e74a7e3e19938ffee1aa8284c)
其中B是標準布朗運動。這樣的過程，二次變差為
![{\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}{\sigma _{s}^{2}ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f1fcaccdddc0bb1328bd41577ad70cc408b77f)
可以證明所有的半鞅都有二次變差和協變差。這是隨機微積分理論的重要部分，出現在伊藤引理中。二次協變差也出現在分部積分公式中
![{\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}{X_{s^{-}}dY_{s}}+\int _{0}^{t}{Y_{s^{-}}dX_{s}}+[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec17136927d4d3a2a2f95e7d96260ce61f176cd)
這可用來計算[X,Y]。
上式也可寫成隨機微分方程的形式：
其中![{\displaystyle dX_{t}dY_{t}=d[X,Y]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8df1995d71f95eb9690f7f01c13d9a40fa94cb4)
右連左極鞅和局部鞅的二次變差都有定義，因為它們都是半鞅。局部平方可積鞅M的二次變差[M]是從0開始的右連續的增過程，跳躍值![{\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139f6dee2d74582b0c228dfaa1b22541ba4ce6c9)
，使得![{\displaystyle M^{2}-[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3f404fd6c1d2124c90e5e569df2cc124c1f77)
是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)給出了[M]存在的一個證明（不使用隨機微積分）。
平方可積鞅有一個有用的結論，可用來計算伊藤積分的變差
![{\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int _{0}^{t}{H^{2}d[M]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4afd1b555d13254ed4b736683477102e30460d)
只要M是右連左極平方可積鞅且H是有界可預測過程，這個結論總是成立的，常用於構造伊藤積分。
還有一個重要結論是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次變差給出了鞅的最大值的上下界。對從0開始的局部鞅，最大值記為
，對任意實數
![{\displaystyle c_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M_{t}^{*})^{p}\leq C_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedff943edc0aca6f288194219a8b3569f91c53a)
式中
是依賴於p的常數，但不依賴於選取的鞅M和時間t。若M是連續局部鞅，則不等式對任何p>0都成立。
另一種變差，可預測二次變差有時用於局部平方可積鞅，記做
，定義為從0開始的右連續且遞增的可預測過程，使得
是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。對連續局部鞅，可預測二次變差就等於二次變差。
- Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.
