五角六十面体

在几何学中，五角六十面体是一种卡塔兰立体，为由60个不等边五边形组成的六十面体，并且是阿基米德立体扭棱十二面体的对偶多面体。这种立体是一个等面图形，也就是说它每个面都全等，但组成面不是正多边形。五角六十面体有两种不同的形式，它们互为镜像（或“对映体”），是为手性镜像，两种手性镜像的面、顶点、边数皆相同，共有60个面、150个边、92个顶点。五角六十面体是顶点数最多的卡塔兰立体。在卡塔兰立体和阿基米德立体中，五角六十面体的顶点数为第二多，仅次于具有120个顶点的大斜方截半二十面体。

五角六十面体

（按这里观看旋转模型）
类别	卡塔兰立体 六十面体
对偶多面体	扭棱十二面体
识别
名称	五角六十面体
鲍尔斯缩写	sapedit
数学表示法
考克斯特符号
康威表示法	gD
性质
面	60
边	150
顶点	92
欧拉特征数	F=60, E=150, V=92 （χ=2）
二面角	153° 10′ 43′′
组成与布局
面的种类	不等边五边形
面的布局	V3.3.3.3.5 V34.5
顶点的种类	80个3阶顶点 12个5阶顶点
对称性
对称群	Ih, 1/2H3, [5,3]+, (532)
旋转对称群	I, [5,3]+, (532)
图像
扭棱十二面体 （对偶多面体） （展开图）

性质

五角六十面体是一个手性多面体，也就是说，该多面体镜射之后会跟原本的形状不同，无法借由旋转半周再回到原本的形状。这两种形式互为镜像（或“对映体”），又称为手性镜像，且其面、顶点、边数皆相同，共有60个面、150个边、92个顶点。在其92个顶点中，有80个顶点是三阶顶点，即3个五边形的公共顶点和12个顶点是五阶顶点，即5个五边形的公共顶点。

五角六十面体的旋转透视图

五角六十面体的另一个手性镜像的旋转透视图

构造

五角六十面体是扭棱十二面体的对偶多面体。事实上，五角六十面体可以不经由对偶变换而从扭棱十二面体构造。首先在扭棱十二面体的所有12个五边形面上加入五角锥，再将扭棱十二面体的所有不与五边形面相邻的20个三角形面上加入三角锥，并调整加入之锥体的锥高，使加入的锥体之侧面与其余60个三角形面共面则形成五角六十面体，然而这种方式构造的五角六十面体会稍微有点形变。

二面角

五角六十面体只有一种二面角，约为153.18度：

$\arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx$2.67347322717678$\approx$153.178732558°

其中$\varphi$为黄金比例、$x$为${\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}$

面的组成

五角六十面体60个全等的五边形面组成，每个五边形都具有3条短边和2条长边，若令$x$为${\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}$，则短边与长边的比为：

${\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx$0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中$\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$为黄金比例。

若令$\xi \approx 0.943\,151\,259\,24$为多项式$x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}$的根，则长边与短边的比值$l$为：

$l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74$.

也就是说，若短边为单位长，则长边的长度约为1.74985单位长。

组成五角六十面体的五边形有4个相等的钝角和一个锐角（两个长边的夹角）。其中钝角的角度为$\arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }$，约118度8分，而反余弦内的值是多项式$64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1$的第一个实根；锐角的角度为$\arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }$，约67度28分，而反余弦内的值是多项式$64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31$的第4个根。

几何

扭棱十二面体的面心不能直接作为五角六十面体的顶点，因为4个三角形的面心位于同一个平面上，但五边形的面心则否，它需要被径向推出以使其与三角形中心共面。因此，五角六十面体的顶点并不都位于同一个球面上，因此根据定义，五角六十面体不是一个环带多面体。

若其对偶多面体的边长为单位长，则对应的五角六十面体八十个三阶顶点所在的球面之半径为：

${\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx$2.1172098986

十二个五阶顶点所在的球面之半径为：

${\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx$2.220000699

体积与表面积

若要计算五角六十面体的体积和表面积，则需要将其中一个五边形面的短边表示为$b$，并令常数$t$为：

$t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622$ .

则短边长为$b$的五角六十面体表面积（A）为：

$A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}$.

体积（V）为：

$V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}$.

使用以上这些数值，可以计算此形状的球形度量值：

$\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163$

用途

五角六十面体的骰子

由于五角六十面体是一个等面多面体，因此可以制成骰子。

参见

• 卡塔兰立体
• 对偶多面体

参考文献

• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
• Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 五角六十面体 （参阅卡塔兰立体） 于MathWorld（英文）