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多面体

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多面体（Polyhedron[注 1]）是指三维空间中由平面多边形、直边和顶点组成的几何形状。 例如立方体就是一种多面体，其由6个平面正方形面、12条直边和8个顶点组成。 多面体可以依特性分成凸多面体、凹多面体和非凸多面体，也可以依结构分成简单多面体和复杂多面体。

多面体
部分的多面体
正十二面体
正十二面体
（正多面体） 		小星形十二面体
小星形十二面体
（星形正多面体）
截半二十面体
截半二十面体
（阿基米德立体） 		大立方截半立方体
大立方截半立方体
（均匀多面体）
凹鹞形柱
凹鹞形柱
（凹多面体） 		正五角帐塔柱
正五角帐塔柱
（詹森多面体）
八角棱柱
八角棱柱
（棱柱） 		正四角反棱柱
正四角反棱柱
（反棱柱）
菱形三十面体
菱形三十面体
（卡塔兰立体） 		环面多面体
环面多面体

凸多面体是限定凸集的多面体。 每个凸多面体都可以由其顶点构建其凸包，且对于每个不共面之有限的点集的凸包也都是凸多面体。 立方体和金字塔形都是凸多面体的例子。

多面体是多胞形在三维空间的例子。 多胞形是多面体在任意维度更一般化的概念。

定义

 
达芬奇为卢卡·帕西奥利所著书籍绘制的骨架多面体（具体来说是小斜方截半立方体）

多面体可以定义为“由平面和直边组成的有界体”。 然而这个定义方式并不明确，对现代数学而言更是不合格。 而另一个相关概念“凸多面体”则有明确的定义，且有多个等效的标准定义。 然而，将凸多面体的“凸”这个条件拿掉之后，这样的更广泛的“多面体”的正式数学定义一直存在问题。 “多面体”的许多定义都是在特定的上下文中给出的[1]，有些定义比其他定义更严格，并且对于选择哪一个定义还没有达成普遍共识。 其中一些定义排除了一些通常会被视为是多面体的形状（例如有自我相交的多面体），或包括了一些不被视为有效多面体的形状（例如边界不是流形的立体）。 克罗地亚数学家布兰科·格伦鲍姆（英语：Branko Grünbaum）曾评论道

多面体理论的原罪可追溯至欧几里得，还有之后的开普勒、庞索（英语：Louis Poinsot）、柯西……各个时期……数学家们都未能准确定义何谓‘多面体’。[2]

自此，数学家虽以特定说法对“多面体”订定了严谨的定义，但任一种却都无法完全兼容其他定义方式。

尽管如此，人们普遍认为多面体是一种立体几何实体（solid）或（平的）曲面（surface），并且可以由其顶点（顶角的点）、边（连接顶点的线段）和面（二维多边形）来描述之，有时可以说它具有特定的三维内部体积。人们可以根据这些不同的定义来决定是否要将多面体描述成一个几何实体，又或者是否要将多面体描述成一个（平的）曲面（surface）之表面，或者是否根据其重合几何更抽像地描述它来区分这些不同的定义。[3]

  • 一个常见且有些纯朴的定义是：多面体是一种可以被有限多个平面覆盖的实体[4][5]，或者由有限个凸多面体联集形成的实体。[6]此定义的自然完善是要求立体有界，具有相连接的内部，并且可能还具有相连接的边界。这种多面体的面可以定义为覆盖它之每个平面内部边界部分的连通元件，而边和顶点可以定义为面与面相交的线段和点。然而这样的定义无法囊括含有自相交部分且其面可能不是简单多边形的星形多面体，且也无法囊括某些边可能属于两个以上之面的多面体[7]（例如大二重扭棱二重斜方十二面体[8]:138）。
  • 基于边界为（平的）曲面（surface）而非整个立体为实体之概念的定义也很常见。[9]例如奥罗克（O'Rourke）于1993年将多面体定义为凸多边形（其面）的联集在空间中排列，使得任何两个多边形的交集是共用的顶点、共用的边或空集，因此它们的联集是一个流形。[10]如果此种定义下的（平的）曲面表面之平面的部分不是凸多边形，则奥罗克要求将非凸多边形细分为更小的凸多边形，并且视这些细分出来的部分为俩俩之间具有平角的二面角的结构。更一般地说，格伦鲍姆（Grünbaum）将非自相交多面体（acoptic polyhedron）定义为形成嵌入式流形之简单多边形的集合，每个顶点最少会与三条边相邻，并且相邻两个面的相交处仅有共用的顶点和一条棱。[11]克伦威尔的《多面体》（英语：Polyhedra (book)）给出了类似的定义，但没有“每个顶点至少要和三条边相连”的限制。同样，这种类型的定义也无法囊括自相交的多面体。[9]类似的概念构成了多面体拓朴定义的基础，即拓朴流形细分为拓朴圆盘（多面体的面）、其成对的交点为点（多面体的顶点）、拓朴弧（多面体的边）或空集。然而，即使所有面都是三角形，也存在不能实现为非自相交多面体（acoptic polyhedron）的拓朴多面体。[12]
  • 一种现代方法是基于抽像多面体（英语：Abstract polytope）理论。其将多面体定义为部分有序集，其元素是多面体的顶点、边和面。当顶点或边是面之边的一部分时，顶点元素小于边元素、边元素小于面元素（依此偏序）。[13]而抽像多面体的要求通常都会被放宽，只要求相隔两层的元素之间的部分与对应的线段具有相同的表述结构。[14]（这意味着每条边包含两个顶点并属于两个面，并且面上的每个顶点都属于该面的两条边。）以其他方式定义的几何多面体可以用这种方式抽像地描述，但也可以使用抽像多面体作为几何多面体定义的基础。抽像多面体的具象化常被认为是从抽像多面体的顶点到几何点的映射，使得每个面的点共面。然后可以将这样的几何多面体定义为抽像多面体的具象化。[15]具象化的过程也可以考虑省略面平面性要求、施加额外的对称性要求或将顶点映射到更高维空间来进行抽象多面体的具象化。[14]这种定义方式与基于实体或基于（平的）曲面的定义不同，这样的定义方式能有非常效地对星形多面体进行描述。然而，如果没有施加额外的限制，在这个定义下就会允许退化或非实际的多面体（例如，将所有顶点映射到单一一个点所形成的几何结构），并且如何约束具象化过程以避免这些退化的问题尚未被有效地探讨及解决。

在这些所有定义中，多面体通常被理解为能存于任意维度、更一般化的多胞形在三维空间中的例子。例如，多胞形在二维空间对应的多边形具有二维实体但没有面、四维多胞形具有四维实体和一组附加的三维多面体之“胞”。不过，有一些高维几何的文献也会使用术语“多面体”来表示其他含义，这些“多面体”不是三维多面体，而是在某种程度上与三维多面体不同的形状。例如，一些来源将凸多面体定义为有限多个半空间的交集，将多面体定义为有界多面体。[16][17]本文的其余部分仅考虑三维多面体。

经典多面体

虽然未有任何附加条件的“多面体”在定义上尚无共识，但一些有限制条件的多面体（如凸多面体、简单多面体）都有明确的意义[18]，而有一种类型多面体也可以明确定义，即经典多面体。[19]

在经典意义上，一个多面体是一个三维形体，它由有限个多边形面组成[9]，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，[20]每条边是直线段，而边交于点，称为顶点。立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子。[20][21]多面体包住三维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体。[20][22]

特征

面的数量

多面体可以根据面数进行分类和命名。在中文语境中，多面体的名称会将计算的多面体面数加上后缀“-面体”来命名，例如立方体有6个面，所以可称为六面体。在英语中，多面体的命名系统基于古典希腊语，同样是将计算的多面体面数作为前缀，并加上后缀“-hedron”形成组合词，“hedron”的意义是“基底”、“座位”，并以此指称为其面。例如，四面体是具有四个面的多面体，中文为“四”+“面体”，英文则是tetrahedron，其中“tetra-”代表四、五面体是具有五个面的多面体，中文为“五”+“面体”，英文则是pentahedron，其中“penta-”代表五、六面体是具有六个面的多面体，中文为“六”+“面体”，英文则是hexahedron，其中“hexa-”代表六，以此类推。[23] 四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体的名称有时在没有额外限定的情况下通常用于指代柏拉图立体；也有时仅是指称指定面数的多面体，并未对其对称性作任何假设。[24]

拓朴分类

 
四面半六面体是一种不可定向的自相交多面体，具有四个三角形面（红色）和三个正方形面（黄色）。 其与莫比乌斯带或克莱因瓶一样，沿着此多面体表面的连续路径可以到达与起始点相反的表面上的点，因此无法区分表面的内部和外部

有些多面体有两侧不同的表面。例如凸多面体纸模型的内部和外部可以分别指定不同的颜色，虽然内部颜色将隐藏于内部而不可见，但确实存在两侧（指定了两种颜色）。这种多面体称为可定向的多面体，所有的非自相交的非凸多面体也有此特性。一些非凸自相交多面体也可以用相同方式着色（即内侧一色、外侧另一色），但这些多面体可能因为存在优角又自相交所以导致“内侧表面”在“外侧可见”，这个情况会使得这样的多面体模型外观看起来有两种颜色涂在不同区域，但尽管如此，只要他能分成内侧及外侧，他就可以被视为可定向的多面体。然而，对于一些具有简单多边形的自相交多面体，例如四面半六面体，其无法分辨内部与外部，因此不能用两种不同的颜色对两侧进行着色，因为他只有一侧，故其为不可定向的多面体。[25]对于具有自相交面的多面体，相邻面如何一致着色可能并不明确，但对于这些多面体，仍然可以透过考虑具有相同顶点、边和面之间的关联的拓扑胞腔复形来确定它是可定向还是不可定向。[26]

多面体还有另外一种拓扑分类法，就是使用其欧拉特性来做区别。欧拉特性主要是透过计算欧拉示性数来描述一个几何体的拓扑特性，它利用多面体的顶点数V、边数E和面数F来计算出一个特征数χ：

 

同样的公式也能用于计算其他类型拓朴表面的欧拉特征。 它是曲面的不变量，这意味着若将曲面以多种方式细分为顶点、边和面时，这些细分结果的欧拉特性将相同。对于凸多面体，或任意与拓扑球体拓扑同构的简单连接的多面体，其欧拉示性数始终等于2。对于更复杂的形状，欧拉特性与表面中的环状体（英语：Toroid）、孔洞、手柄或十字帽的数量相关，这些形状的欧拉示性数将小于2。[27] 欧拉示性数为奇数的多面体都是不可定向的。欧拉示性数为偶数的多面体也有可能是不可定向的多面体。例如单孔环状体（英语：Toroid）和克莱因瓶，其欧拉示性数皆为零χ = 0，是偶数，但前者可定向，而后者不可定向。[26]

对偶性

主条目：对偶多面体
 
立方体和正八面体互为对偶多面体

所有的多面体都存在对应的对偶多面体，其为

  • 原始多面体的面被顶点取代
  • 原始多面体与对偶多面体边数相同

凸多面体的对偶多面体可以透过极交换来构造。[28]多面体与对偶多面体都是成对存在的，对偶多面体的对偶多面体是原来的多面体。有些多面体的对偶多面体就是原本的多面体，这称为自身对偶多面体，其原始多面体和对偶多面体全等。[29]

抽象多面体也存在对偶多面体，其可以透过反转定义该抽象多面体的偏序集来得到。[15]对偶多面体具有与原始多面体相同的欧拉特性和可定向性。而以抽象多面体来构造的对偶形式并不描述对偶多面体的形状，仅描述其组合结构。某些非凸的几何多面体的抽象对偶多面体不能在相同定义下具象化为实体的几何多面体。[11]

顶点图

主条目：顶点图

对于多面体的每一个顶点，皆可以定义顶点图。顶点图描述了多面体在顶点周围的局部结构。顶点图精确的定义各不相同，但大致上可以认为是透过切去多面体的顶点并观察截面的形状。[9]对于柏拉图立体和其他高度对称的多面体，可以选择从每条边的中点来切割顶点以便观察顶点图的形状，[30]但其他的多面体中，同一顶角周围之边的中点未必共面，因此可能无法以边的中点所构成的平面来切割出顶点图。对于凸多面体，或更一般地对于任何凸顶点，这时切割顶点图的切面可以选择将顶点与其他顶点分开的任何平面。[31]当多面体具有对称中心时，切割顶点图的标准选择是选择垂直于顶点到中心点之直线的平面来切割出顶点图；[32]在这种选择下，顶点图的形状只差在割出面与顶点的距离，这些形状皆相似，也就是顶点图的形状的决定不会因缩放而改变。当多面体的顶点不是凸顶点时，不一定会存在将每个顶点与其余顶点分开的平面。在这种情况下，通常会改为使用以顶点为中心的小球体来切割多面体的顶角。[33]同样，这会产生的顶点图不会因缩放改变形状。对于可以应用这些方法的多面体而言，所有的方式都能形成具有相同组合的顶点图形状，不过也有可能会出现不同的几何形状。

注释

  1. ^ 英文 polyhedron 源于古希腊语 πολύεδρον，由poly-（词根 πολύς，多）和 -hedron（έδρα，基底、座、面）构成，即意为“多面体”。

参见

参考文献

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