扭棱四面体
在几何学中，扭棱四面体是指正四面体经过扭棱变换后所形成的多面体。其拓朴结构与正二十面体等价。一般会将这种立体的面分为3组，一组是原始四面体的面，另一组是来自原像之顶点图的面，另一组是扭棱变换过程中所形成的面。若两组面构成的三角形不全等，其结果立体将会变成一个外观与正二十面体非常相似，但不相同的立体，因此又称伪正二十面体[1]，其具备五角十二面体（黄铁矿晶型）对称性[2]。部分文献将这种立体称为扭棱八面体（snub octahedron）[3]、扭棱截半四面体（或扭棱四-四面体，snub tetratetrahedron）[4]。部分矿石的晶体结构会结晶成这种形状。[5]
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| 类别 | 凸多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 五角十二面体 | ||
| 数学表示法 | |||
| 考克斯特符号 |     (五角十二面体对称)  (四面体对称) | ||
| 性质 | |||
| 面 | 20 | ||
| 边 | 30 | ||
| 顶点 | 12 | ||
| 欧拉特征数 | F=20, E=30, V=12 （χ=2） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 8个正三角形 12个等腰三角形 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Th, [4,3+], (3*2), order 24 | ||
| 旋转对称群 | Td, [3,3]+, (332), order 12 | ||
| 特性 | |||
| 凸 | |||
| 图像 | |||
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性质 编辑
扭棱四面体是一种二十面体，由20个三角形组成。扭棱四面体可以视为四面体经过扭棱变换所形成的立体，在扭棱的过程中会形成3种面，一种是原始四面体的面、另一种是来自原像顶点图的面、还有一种是扭棱变换过程中所形成的面。若这三种面皆全等，整个立体将与正二十面体无异。[7][8]
 四面体扭棱成扭棱四面体的过程， 其中蓝色的面代表原始四面体的面； 红色的面代表来自原像顶点图的面； 白色的面代表扭棱变换过程中所形成的面 |
拓朴结构 编辑
扭棱四面体的拓朴结构与正二十面体等价[5]。若将四面体扭棱过程中所形成的面两两合并为1个菱形，则其拓朴结构与截半立方体相同。[4]
顶点座标 编辑
这种立体的顶点座标可以用 的循环排列来构造，这个顶点排构建方式又可视为是交错截角的截角八面体，其与耶森二十面体相同，但顶点间相连方式不同[9]。而若取 则会变为正二十面体，其中 为黄金比例。[1]
耶森二十面体 编辑
耶森二十面体是一个与扭棱四面体相同顶点排列方式的立体，但耶森二十面体顶点间的相连方式与扭棱四面体不同。耶森二十面体是非凸多面体，并具有直角的二面角。[10]
对偶多面体 编辑
这种立体因为外观与正二十面体十分类似，但不是正多面体因此又被称为伪正二十面体。其对偶多面体也非常类似正二十面体的对偶多面体——正十二面体，然而其也不是正多面体。这种立体的对偶多面体为五角十二面体，是一种由12个不等边五边形组成的十二面体，具有四面体群对称性。其与正十二面体类似，皆是由12个全等的五边形组成，且每个顶点都是3个五边形的公共顶点[11]，但由于其面不是正多边形，其顶点的排布未能达到五折对称性，因此不属于正多面体。部分的化学物质或矿石[12]其晶体形状是这种形状，例如黄铁矿和部分的天然气水合物[13]。其英文名称Pyritohedron是来自黄铁矿的英文pyrite以及多面体的字尾-hedron命名的。[14]
相关多面体 编辑
| 原像 |  正四面体 |
 立方体 |
 正八面体 |
 正十二面体 |
 正二十面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 扭棱 |  扭棱四面体 sr{3,3} |
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| 扭棱立方体 sr{4,3} |
扭棱八面体 sr{3,4} |
扭棱十二面体 sr{5,3} |
扭棱二十面体 sr{3,5} | ||
| 完全扭棱 |  完全扭棱四面体 β{3,3} |
 完全扭棱立方体 β{4,3} |
 二复合二十面体 β{3,4} |
 完全扭棱十二面体 β{5,3} |
 完全扭棱二十面体 β{3,5} |
参见 编辑
参考文献 编辑
- ^ 1.0 1.1 John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. （原始内容存档于2018-05-19）.
- ^ Symmetries Up To Three Dimensions. （原始内容存档于2021-08-14）.
- ^ Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. （原始内容存档于2021-08-14）.
- ^ 4.0 4.1 Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. （原始内容存档于2019-03-11）.
- ^ 5.0 5.1 John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. （原始内容存档于2020-05-29）.
- ^ Th. Hahn (编). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-14）.
- ^ John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 （英语）.
- ^ George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. （原始内容存档于2021-08-16）.
- ^ Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494.
- ^ Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. （原始内容存档 (PDF)于2021-03-31）.
- ^ Crystal Habit （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
- ^ 中村庆三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地学雑志 (公益社団法人 东京地学协会). 1942, 54 (6): 211––230.
- ^ 天然氣水合物能替代石油嗎？. 科学人杂志 - 远流. [2021-08-14]. （原始内容存档于2021-08-16）.
天然气水合物常见的两种笼状结构为五角十二面体
- ^ Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-02-23）.
外部链接 编辑
- 扭棱四面体的各种变体 （页面存档备份，存于互联网档案馆）