幾何學中,扭棱四面體是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為3組,一組是原始四面體的面,另一組是來自原像頂點圖的面,另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等,其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似,但不相同的立體,因此又稱偽正二十面體[1],其具備五角十二面體(黃鐵礦晶型)對稱性[2]。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體(snub octahedron)[3]、扭棱截半四面體(或扭棱四-四面體,snub tetratetrahedron)[4]。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。[5]

扭棱四面體
扭棱四面體
類別凸多面體
對偶多面體五角十二面體
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
node_h 3 node_h 4 node  (五角十二面體對稱)
node_h 3 node_h 3 node_h  (四面體對稱)
性質
20
30
頂點12
歐拉特徵數F=20, E=30, V=12 (χ=2)
組成與佈局
面的種類8個正三角形
12個等腰三角形
對稱性
對稱群Th, [4,3+], (3*2), order 24
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
Td, [3,3]+, (332), order 12
特性
圖像

五角十二面體
對偶多面體

展開圖

這個立體是五角十二面體對偶多面體[6]

性質

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扭棱四面體是一種二十面體,由20個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體,在扭稜的過程中會形成3種面,一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等,整個立體將與正二十面體無異。[7][8]

 
四面體扭棱成扭棱四面體的過程, 其中藍色的面代表原始四面體的面; 紅色的面代表來自原像頂點圖的面; 白色的面代表扭棱變換過程中所形成的面

拓樸結構

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扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價[5]。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為1個菱形,則其拓樸結構與截半立方體相同。[4]

 

頂點座標

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這種立體的頂點座標可以用 的循環排列來構造,這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體,其與耶森二十面體相同,但頂點間相連方式不同[9]。而若取 則會變為正二十面體,其中 黃金比例[1]

耶森二十面體

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耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體,但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體,並具有直角的二面角。[10]

 

對偶多面體

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五角十二面體

這種立體因為外觀與正二十面體十分類似,但不是正多面體因此又被稱為偽正二十面體。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體——正十二面體,然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體五角十二面體,是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體,具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似,皆是由12個全等的五邊形組成,且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點[11],但由於其面不是正多邊形,其頂點的排佈未能達到五摺對稱性,因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石[12]其晶體形狀是這種形狀,例如黃鐵礦和部分的天然氣水合物[13]。其英文名稱Pyritohedron是來自黃鐵礦的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。[14]

相關多面體

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扭稜立體
原像  
正四面體
 
立方體
 
正八面體
 
正十二面體
 
正二十面體
扭稜  
扭棱四面體
sr{3,3}
   
扭棱立方體
sr{4,3}
扭棱八面體
sr{3,4}
扭棱十二面體
sr{5,3}
扭棱二十面體
sr{3,5}
完全扭稜  
完全扭稜四面體
β{3,3}
 
完全扭稜立方體
β{4,3}
 
二複合二十面體
β{3,4}
 
完全扭稜十二面體
β{5,3}
 
完全扭稜二十面體
β{3,5}

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2018-05-19). 
  2. ^ Symmetries Up To Three Dimensions. (原始內容存檔於2021-08-14). 
  3. ^ Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. (原始內容存檔於2021-08-14). 
  4. ^ 4.0 4.1 Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. (原始內容存檔於2019-03-11). 
  5. ^ 5.0 5.1 John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2020-05-29). 
  6. ^ Th. Hahn (編). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. (原始內容存檔 (PDF)於2021-08-14). 
  7. ^ John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 (英語). 
  8. ^ George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. (原始內容存檔於2021-08-16). 
  9. ^ Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494. 
  10. ^ Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. (原始內容存檔 (PDF)於2021-03-31). 
  11. ^ Crystal Habit頁面存檔備份,存於互聯網檔案館). Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
  12. ^ 中村慶三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地學雑誌 (公益社団法人 東京地學協會). 1942, 54 (6): 211––230. 
  13. ^ 天然氣水合物能替代石油嗎?. 科學人雜誌 - 遠流. [2021-08-14]. (原始內容存檔於2021-08-16). 天然氣水合物常見的兩種籠狀結構為五角十二面體 
  14. ^ Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. (原始內容存檔於2019-02-23). 

外部連結

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