经典力学里,伯特兰定理阐明,只有两种位势可以给出闭合轨道[1]

约瑟·伯特兰

其中,是径向坐标,是正值常数。假若物体从某位置移动,经过一段路径后,又回到原先位置,则称此路径为闭合轨道

1687年,物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律,解释了行星绕着太阳的公转为何遵守开普勒定律。此后许多科学家开始研究,当行星的运动稍许偏离了这轨道时,可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年,法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理,才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要,伯特兰定理给予实验者一个精确的方法,来测试万有引力的平方反比性质。

在现代物理学里,理论物理学家发现由于广义相对论效应,引力与距离不再成精确的平方反比关系,因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到,水星绕着太阳公转的椭圆轨道,其近拱点呈缓慢进动状态。

前论

编辑

所有吸引性有心力都可以产生圆形的公转轨道;这圆形轨道当然是闭合轨道;其形成的唯一条件是有心力恰巧地与离心力等值;后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非有心力。一般而言,非有心力不会产生圆形的公转轨道。

采用极坐标 ,一个移动于连心势 的粒子,其拉格朗日量 

 

其中, 是粒子质量,  分别表示  对于时间 的导数。

这粒子的拉格朗日方程

 
 

由于角坐标 显性地跟拉格朗日量无关, 是个可略坐标,其共轭动量角动量 守恒, 是个常数:

 

将角动量的方程代入径向拉格朗日方程,可以得到一个 的二次微分方程

 

假设轨道是圆形轨道,方程左手边第一个项目是零,则如同期待的,有心力 等值于离心力 

对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为

 

将这公式代入,可推导出一个跟角度有关,跟时间无关的轨道方程:

 

设定变数 ,改换方程的变数为 ,同时将方程两边乘以 ,可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程

 

导引

编辑

如同前面所说,给予粒子适当的初始速度,任何有心力都能产生标准圆形轨道。可是,假设给予粒子某径向速度,则这些轨道可能不稳定(稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道),也可能不闭合。本段落会证明,稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势(一个必要条件)。下一个段落会证明,这些位势的确会产生稳定的闭合轨道(一个充分条件)。

为了简化标记,设定

 (1)

其中, 是有心力函数。

则轨道方程为

 

如果要得到半径为 的圆形运动轨道,必要条件是轨道方程左边第一项等于零,方程变为

 

思考对于标准圆形运动轨道的变数 摄动 ,函数  泰勒级数

 

将此展开示代入轨道方程:

 

设定常数  的解答为标准圆形运动轨道):

 (2)

取至 的1次方:

 

 必须是个非负数;否则,轨道的半径会呈指数方式递增。一阶摄动解答为

 

其中,振幅 是个积分常数。

假若这轨道是闭合轨道,则 必须是有理数。继续运算,从方程(1),取对于 的导数:

 

这方程对于任意 值都必须成立,因此可以将 认定为函数 的参数。用符号 来代替 

 

将方程的变数换回为 

 

这意味著作用力必须遵守幂定律

 

代入方程 (1) ,  的一般形式为

 (3)

假设实际轨道与圆形有更大的差别(也就是说,不能忽略 函数的泰勒级数的更高次方项目),则可以用傅里叶级数来展开 

 

因为高频率项目的系数太小,傅里叶级数只取至 项目。方程 (2)也只取至 的三次方。注意到  的数量级为 ,超小于  的数量级为 ,超小于  。将上述傅里叶级数代入方程 (2),匹配方程两边同频率项目的系数。这样,可以得到一系列方程:

 (4)
 (5)
 (6)

  对于 的微分:

 
 (7)
 (8)

将方程(7)、(8)代入方程(4)、(6):

 (9)
 (10)

再将方程 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程 (5),经过一番运算,可以得到伯特兰定理的重要结果:

 

解答 是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 ( )与径向谐振子势 ( )能够造成稳定的,闭合的,非圆形的公转轨道。

平方反比力(开普勒问题)

编辑

平方反比有心力给出的连心势,像重力势或静电势,以方程表示为

 

处于这种连心势的粒子,其一般轨道方程写为

 

其解答为轨道函数 

 

其中, 是椭圆轨道的离心率 是相位差,是一个积分常数。

这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程。当 时,这轨道对应于圆形轨道; 当 时,这轨道是椭圆形轨道;当 时,这轨道是抛物线轨道;当 时,这轨道是双曲线轨道。

离心率与粒子能量 的关系为

 

所以,当 时,这轨道是圆形轨道; 当 时,这轨道是椭圆形轨道;当 时,这轨道是抛物线轨道;当 时,这轨道是双曲线轨道。

径向谐振子

编辑

为了方便解析这问题,采用直角坐标 。势能可以写为

 

处于径向谐振子位势的粒子,其拉格朗日量 

 

这粒子的拉格朗日方程为

 
 
 

其中, 是振动频率

常数 必须为正值;否则,粒子会朝着无穷远飞离。这些微分方程的解答为

 
 
 

其中,   分别为x、y、z方向的振幅,   分别为其相位

由于上述方程经过整整一周期 后,会重复自己,轨道解答 是闭合轨道。

牛顿旋转轨道定理

编辑

牛顿旋转轨道定理表明,对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子,假设再增添立方反比力于此粒子,只要因子 有理数,则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程,增添的立方反比力 

 

其中, 是粒子原本的角动量, 是粒子的质量。

所以, 

由于 是有理数, 可以写为分数 ;其中,  都是整数。对于这案例,增添立方反比力使得粒子完成 圈公转的时间等于原本完成 圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理,因为,增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。

参阅

编辑

参考文献

编辑
  1. ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853. 
Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (英语). 
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787 
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157 
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449