二体问题

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

在经典力学里，二体问题（英语：two-body problem）研究两个粒子因彼此互相作用而产生的运动。这是个很重要的天文问题，常见的应用有卫星绕着行星公转、行星绕着恒星公转、双星系统、双行星、一个经典电子绕着原子核运动等等。

两个质量相等的粒子，依循各自椭圆轨道，绕着质心公转。

两个质量稍微不同的粒子的运动，依循各自椭圆轨道，绕着质心公转。这种轨道的尺寸与形状类似冥王星-冥卫一系统。

二体问题可以表述为两个独立的单体问题，其中一个是平凡的单体问题，另外一个单体问题研究一个粒子因外力作用而呈现的运动。由于很多单体问题有精确解（exact solution），即不需借助近似方法就可得到问题的解答；其对应的二体问题连带地也可解析。显然不同地，除了特别案例以外，三体问题（或者更复杂的多体问题）并没有精确解。

约化为两个独立的单体问题

在一个物理系统里，假设两个粒子的质量分别为$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，在时间$t=0\,\!$的初始位置分别为$\mathbf {x} _{10}\,\!$、$\mathbf {x} _{20}\,\!$，初始速度分别为$\mathbf {v} _{10}\,\!$、$\mathbf {v} _{20}\,\!$，计算这两个粒子的轨迹函数$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$及$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$的问题，称为二体问题。

根据牛顿第二定律：

$\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!$ —— (1)、

$\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!$ —— (2)；

其中，$\mathbf {F} _{AB}\,\!$表示粒子B施加于粒子A的作用力。

二体问题的雅可比坐标(Jacobi coordinates)为质心坐标${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$和相对坐标${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$；其中，$M=m_{1}+m_{2}\$ 。

将方程(1)与方程(2)相加，可以得到一个方程，专门描述两个粒子的质心运动。将方程(1)与方程(2)的相减，则可得到描述两个粒子相对的位移向量$\mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!$与时间之间的关系。将这两个独立的单体问题的解答结合起来，就可以求得轨迹函数$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$和$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$。

质心运动（第一个单体问题）

质心的位置由两个粒子的位置和质量给出：

$\mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!$；

其中，$M=m_{1}+m_{2}\,\!$是系统的总质量。

质心的加速度为：

${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!$。

由于没有外力作用，将方程(1)与(2)相加，根据牛顿第三定律，可以得到

$M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!$。

因此，质心的加速度等于零，质心的速度$\mathbf {v} _{cm}\,\!$为常数：

$\mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!$。

这物理系统的动量守恒：

$m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!$。

从两个粒子的初始位置和初始速度，就可以决定质心在任意时间的位置：

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

位移向量运动（第二个单体问题）

将方程(1)、(2)分别除以$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，然后相减，可以得到

${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!$。

其中，$\mathbf {r} \,\!$是个从粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

应用牛顿第三定律，$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!$。所以，

${\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!$。

两个粒子之间的作用力应该只是相对位置$\mathbf {r} \,\!$的函数，而不是绝对位置$\mathbf {x} _{1}\,\!$、$\mathbf {x} _{2}\,\!$的函数；否则，无法满足物理的平移对称，物理定律会因地而易，二体之间的物理关系无法普遍地成立于全宇宙。换句话说，在宇宙中，两个粒子的绝对位置无关紧要，因为它们是宇宙中唯一的两个粒子，是互相施加于彼此的作用力的源头。诚然地，这是一个不实际的问题，可以被视为一个思想实验。为了满足这问题的要求，两个粒子之间的作用力必须只是相对位置$\mathbf {r} \,\!$的函数。这样，相减得到的方程写为

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$；

其中，$\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$是约化质量。

一旦求得函数$\mathbf {x} _{cm}(t)\,\!$与$\mathbf {r} (t)\,\!$，就可以计算出两个粒子的轨迹方程$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$与$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$：

$\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!$、

$\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!$。

角动量

两个粒子的总角动量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$为

${\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!$

其中，$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!$是质心对于原点的角动量，$\mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!$是两个粒子对于质心的角动量。

回想前面质心的轨迹方程，

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

为了简化分析，设定质心的初始位置为$0\,\!$。也就是说，质心的直线运动经过原点。那么，

$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!$、

$\mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!$。

二体问题常用的换元的技巧是通过 $u=1/r\!$ 和 ${\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!$ 将原方程中对时间的求导转化为对角度 $\theta \!$ 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

$(Lu')'+Lu=1/L\!$

角动量守恒与有心力

二体问题的总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$是

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!$。

在物理学里，时常会遇到的万有引力、静电力等等，都是有心力。假设，作用力$\mathbf {F} _{12}\,\!$是有心力，则$\mathbf {F} _{12}\,\!$与$\mathbf {r} \,\!$同直线，总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$等于0。根据角动量守恒定律，

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!$。

因此，总角动量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$是个常数，总角动量守恒。

请注意，并不是每一种力都是有心力。假设，两个粒子是带电粒子。由毕奥-萨伐尔定律与洛伦兹力定律所算出的作用力和反作用力并不是有心力。总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$不等于0。总角动量不守恒；这是因为还有角动量并没有被计算在内。假若，将电磁场的角动量计算在内，则角动量守恒定律仍旧成立。

在很多物理系统里，作用力$\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$是一种有心力，以方程表示为

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$；

其中，$r\,\!$是径向距离，${\hat {\mathbf {r} }}\,\!$是径向单位向量。

这物理系统的运动方程为

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!$。

更详尽细节，请参阅条目经典有心力问题（classical central force problem）。

平面运动与角动量守恒

总角动量与$\mathbf {r} \,\!$的点积为

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!$。

这两个粒子的运动轨道必定包含于垂直于$\mathbf {L} _{tot}\,\!$的平面。假设作用力为有心力，则由于角动量守恒，这两个粒子必定运动于某特定平面，而常数向量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$垂直于这平面。

参阅

• 多体问题
• 开普勒定律
• 开普勒问题
• 拉普拉斯-龙格-楞次向量
• 伯特兰定理
• 牛顿旋转轨道定理

参考文献

来源

书籍

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).