傅里叶正弦、余弦变换

在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。

定义

方程 $f (t)$ 的傅里叶正弦变换，有时也被表示为 ${\hat {f}}^{s}$ or ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ ，有

2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.

或

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(\omega t)\,dt.

如果 $t$ 代表时间，那么 $ω$ 就是单位时间周期内的频率，但抽象来说，它们可以是互相关联的任何一对变量。

这个变换必须是频率的奇函数，即对所有的 $ω$ ：

{\hat {f}}^{s}(\omega )=-{\hat {f}}^{s}(-\omega ).

傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有 $L 2$ norm of ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.$

方程 $f (t)$ 的傅里叶余弦变换，有时也被表示为 ${\hat {f}}^{c}$ 或 ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ ，有

2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.

这个变换必须是频率的偶函数，即对所有的 $ω$ ：

{\hat {f}}^{c}(\omega )={\hat {f}}^{c}(-\omega ).

一些著者^[1]仅定义了 $t$ 的偶函数的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：

4\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.

相似地，如果 $f$ 是奇函数，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：

4\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.

按照通常的假设，原始方程 $f$ 可以从变换形式中复原。即 $f$ 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设，参见傅里叶逆变换。

逆公式是^[2]：

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \omega t)d\omega +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \omega t)d\omega ,

它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。

用余弦的变换公式，可以再表示为：

{\tfrac {\pi }{2}}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(\omega (t-x))dtd\omega ,

这里 $f (x + 0)$ 表示 $f$ 当 $x$ 从上方趋近于零的一边极限。且 $f (x - 0)$ 表示 $f$ 当 $x$ 从下方趋近于零一边的极限。

如果原始方程 $f$ 是偶函数，那么正弦变换就为零；如果 $f$ 是奇函数，那么余弦变换就为零。在任何一种可能中，逆变换方程都可以化简。

如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是

{\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\tfrac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\tfrac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}

Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211

^ Mary L. Boas，在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，第二版，John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
^ Poincaré, Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff. [2014-05-27]. （原始内容存档于2017-08-07）.