傅里葉正弦、餘弦變換

在數學中，傅里葉正弦和餘弦變換是傅里葉變換不使用複數的表達形式。它們最初被約瑟夫·傅里葉使用並仍在某些應用中有所擅長，如信號處理和概率統計。

定義

方程  f (t) 的傅里葉正弦變換，有時也被表示為${\hat {f}}^{s}$ or ${\mathcal {F}}_{s}(f)$，有

$2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.$

或

${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(\omega t)\,dt.$

如果 t 代表時間，那麼 ω 就是單位時間周期內的頻率，但抽象來說，它們可以是互相關聯的任何一對變量。

這個變換必須是頻率的奇函數，即對所有的 ω：

${\hat {f}}^{s}(\omega )=-{\hat {f}}^{s}(-\omega ).$

傅里葉變換中的數值因子僅由它們的乘積定義。為了讓傅里葉逆變換公式不包含任何數值因子，因子 2 出現因為對正弦函數有 L² norm of ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.$

方程  f (t) 的傅里葉餘弦變換，有時也被表示為${\hat {f}}^{c}$或${\mathcal {F}}_{c}(f)$，有

$2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.$

這個變換必須是頻率的偶函數，即對所有的 ω：

${\hat {f}}^{c}(\omega )={\hat {f}}^{c}(-\omega ).$

一些著者僅定義了 t 的偶函數的餘弦變換，在這種情形下正弦變換為 0。因為餘弦也是偶函數，所以可以使用更簡單的公式：

$4\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.$

相似地，如果  f  是奇函數，那麼餘弦變換就為 0 且正弦變換簡化為：

$4\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.$

傅里葉逆變換

按照通常的假設，原始方程  f  可以從變換形式中復原。即  f  和它的兩種變換都是絕對可積的。更多不同的假設，參見傅里葉逆變換。

逆公式是：

$f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \omega t)d\omega +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \omega t)d\omega ,$

它有一個優點是所有頻率都是正數且所有量都是實數。如果省略變換中的因子 2，那麼逆公式通常寫為正和負頻率的的積分。

用餘弦的變換公式，可以再表示為：

${\tfrac {\pi }{2}}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(\omega (t-x))dtd\omega ,$

這裏  f (x + 0) 表示  f  當 x 從上方趨近於零的一邊極限。且  f (x − 0) 表示  f  當 x 從下方趨近於零一邊的極限。

如果原始方程  f  是偶函數，那麼正弦變換就為零；如果  f  是奇函數，那麼餘弦變換就為零。在任何一種可能中，逆變換方程都可以化簡。

與複指數的關係

如今用得更為廣泛的傅里葉變換的形式是

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\tfrac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\tfrac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}$

相關條目

• 離散餘弦變換
• 離散正弦變換

參考

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211