奇函数与偶函数
满足特定对称关系的函数
(重定向自偶函数)
在数学里,偶函数(英语:Even functions)和奇函数(英语:Odd functions)是满足着相对于加法逆元之特定对称关系的函数。这在数学分析的许多领域中都很重要,特别是在幂级数和傅里叶级数的理论里。其命名是因为幂函数的幂的奇偶性满足下列条件:若n为一偶数,则函数是偶函数,若为一奇数,则为奇函数。
偶函数
编辑设f(x)为一实变量实值函数,则 为偶函数若下列的方程对所有在 的定义域内的 都成立:[1]
几何上,一个偶函数会关于y轴对称,亦即其图像在对y轴为轴对称后不会改变。
奇函数
编辑再次地,设 为一个实变量实值函数,则 为奇函数若下列的方程对所有在f的定义域内的 都成立:[2]
- 或
基本特性
编辑注意:一个函数为奇函数或偶函数不表示其为可微的,或即使为连续的。其包含在傅里叶级数、泰勒级数、导数等之性质都只在假设其存在时才被使用。
- 唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有 , )。
- 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数;如 。
- 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。(偶+偶=偶 n×偶=偶)
- 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。(奇+奇=奇 n×奇=奇)
- 两个偶函数的乘积为一个偶函数。(偶×偶=偶)
- 两个奇函数的乘积为一个偶函数。(奇×奇=偶)
- 一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。(偶×奇=奇)
- 两个偶函数的商(除数不得为0)为一个偶函数。(偶÷偶=偶)
- 两个奇函数的商(除数不得为0)为一个偶函数。(奇÷奇=偶)
- 一个偶函数和一个奇函数的商(除数不得为0)为一个奇函数。(偶÷奇=奇 奇÷偶=奇)
- 一个偶函数的导数为一个奇函数。(偶'=奇)
- 一个奇函数的导数为一个偶函数。(奇'=偶)
- 两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数。[奇(奇)=奇 偶(偶)=偶]
- 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数。[偶(奇)=偶 奇(偶)=偶]
级数
编辑代数结构
编辑- 偶函数的任何线性组合皆为偶函数,且偶函数会形成一个实数上的向量空间。相似地,奇函数的任何线性组合皆为奇函数,且奇函数亦会形成一个实数上的向量空间。实际上,“所有”实值函数之向量空间为偶函数和奇函数之子空间的直和。换句话说,每个定义域关于原点对称的函数都可以被唯一地写成一个偶函数和一个奇函数的相加:
- 偶函数会形成一个实数上的可交换代数,但奇函数则不会形成任何一个在实数上的代数。
谐波
编辑在信号处理里,谐波失真会产生于当一个正弦波信号被一非线性传递函数放大的时候。其谐波的类型会因传递函数的不同而不同:[3][4]
参考文献
编辑引用
编辑- ^ Gelfand 2002, p. 11
- ^ Gelfand 2002, p. 72
- ^ Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics. [2006-12-25]. (原始内容存档于2018-01-01).
- ^ Berners, Dave. Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics. UA WebZine. Universal Audio. October 2005 [2016-09-22]. (原始内容存档于2018-01-01).
To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.
来源
编辑- 书籍
- Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. Functions and Graphs. Mineola, NY: Dover Publications. 2002 [1969]. (原始内容存档于2016-09-21).